Мотивный спуск
Развитие этого -- http://posic.livejournal.com/679739.html

Пусть Ch (от слова Чжоу) -- DG-категория, в которой все комплексы морфизмов сосредоточены в неположительных когомологических степенях. Предположим, что на Ch (дискретно) действует (проконечная) группа G (что это значит, еще надо разбираться отдельно, но будем надеяться, что разумный смысл этому можно придать).

Будем рассматривать то, что Б. и К. когда-то прозвали "скрученными комплексами" над Ch -- конечные формальные прямые суммы формальных когомологических сдвигов объектов из Ch, снабженные коцепями Маурера-Картана, скручивающими дифференциал на прямой сумме. В силу условия на Ch, все такие скрученные комплексы должны быть "односторонними" и, более того, на них есть естественные "глупые фильтрации" (насколько я понимаю).

Будем рассматривать такие скрученные комплексы, снабженные действием G. Хотелось бы организовать из таких скрученных комплексов точную DG-категорию, в которой морфизмы -- комплексы морфизмов скрученных комплексов, коммутирующих с действием G. А точная структура такая: точная тройка G-эквивариантных скрученных комплексов -- это, во-первых, расщепимая точная тройка в аддитивно-сдвиговой оболочке Ch. При этом G-эквивариантного расщепления быть вовсе не должно (иначе неинтересно), но требуется существование G-эквивариантных расщеплений на присоединенных факторах нашей тройки по глупой фильтрации.

У полученной точной DG-категории строится абсолютная производная категория, у которой есть также DG-модель (по Др.). В этой DG-модели сидит полная DG-подкатегория, состоящая из G-эквивариантных скрученных комплексов, подлежащие скрученные комплексы которых суть просто прямые суммы объектов из Ch (без сдвигов). Эта DG-подкатегория называется (в надежде, что конструкция правильная) результатом "мотивного" или "весового" спуска исходной DG-категории Ch с действием групы G и обозначается через Ch/G.

Прежде всего нужно доказывать, что
1. комплексы морфизмов в Ch/G имеют когомологии, сосредоточенные в неотрицательных когомологических степенях, и
2. конструкция инвариантна относительно квази-эквивалентностей DG-категорий Ch с действием G.

А также
3. Ch/{e} квази-эквивалентна Ch, и
4. (Ch/H)/(G/H) квази-эквивалентна Ch/G.

В целом же замах, конечно, на то, чтобы конструкция переводила DG-категорию мотивов над алгебраическим расширением L поля K с группой Галуа G в DG-категорию мотивов над K.