Кольцо разложения
J.S. Milne, Algebraic Number Theory
Chapter 2, First proof that the integral elements form a ring
https://jmilne.org/math/CourseNotes/ant.html

По-моему тут не обязательно предполагать целостность $A$.

Теорема. Пусть $B$ --- $A$-алгебра. Тогда целые над $A$ элементы $B$ образуют кольцо.

Мы хотим доказать это с помощью симметрических многочленов.

Наблюдение: на многочлены со старшим коэффициентом $1$, которые мы будем называть нормированными, можно делить над любым кольцом. Если $P(a)=0$, то $P(X)=(X-a)Q(X)$. Благодаря этому можно построить кольцо разложения нормированного многочлена над любым кольцом $R$, причём $R$ в него вкладывается.

Пусть $g,h \in B$ целые над $A$. Тогда соответствующие многочлены можно разложить так: $(X-g)P(X)$, $(X-h)Q(X)$. Вложим $B$ в кольцо разложения $P(X)$, а затем $Q(X)$. Пусть $F$ --- многочлен от полученных корней $(X-g)P(X)(X-h)Q(X)$. Тогда $F$ является корнем многочлена $\prod_{\sigma} (X - \sigma(F))$, где $\sigma$ означает перестановки переменных $F$, причём коэффициенты этого многочлена являются симметрическими многочленами от корней $(X-g)P(X)(X-h)Q(X)$, следовательно, лежат в $A$. Взяв $F=g+h$, или $F=g-h$, или $F=gh$, получаем доказательство теоремы.

С $F$ получилось немного косноязычно (путается многочлен и его значение), но, думаю, понятно.