Прикреплённый пост
Для всяких мелочей и потоков сознания.

Математические заметки:
https://mega.nz/folder/LyglUAAT#K4eIT3HGnARicCLOzbjHsQ
(постоянно обновляются и переписываются, каюсь, каюсь, каюсь)

Можно использовать свободно, можно задавать тут любые вопросы и писать любые замечания.

Сшивание тетрадей в книжный блок
Открыл для себя, что блокнот или небольшую книгу можно сшить самому из тетрадок. Обычно блок ещё и проклеивают, так что задался вопросом ``а можно не клеить?'' Придумал некую схему сшивания, при которой тетрадки в блоке и без клея мало болтаются. Сейчас набросаю. А вопрос такой: как называется такая схема? Может быть, у кого-то есть знакомые, занимающиеся этим делом профессионально, и они знают название. Ну и хотелось бы комментариев, насколько такая схема адекватна вообще.

Картинки загружены на Catbox. Если у вас не открывается, попробуйте зайти с какой-то онлайн прокси.

Схема сшивания на рисунке [1]. Делаем так. Краткое описание, в котором несколько шагов объединены в один. Берем нитку с привязанными иголками на двух концах, пропускаем через дырки как на картинке [2] слева, оставляя при этом петельки. После этого пропускаем иголки как на картинке [2] посередине, проводя нитку через петли, после чего аккуратно затягиваем. Затягивать обе нитки надо более-менее одновременно. После этого, оставляя петельки, аккуратно проводим нитку как на картинке [2] справа, ну и продолжаем аналогично до конца. Единственное, в конце надо привязать оба конца друг к другу прочным узелком.

Для теста сделал таким образом блок для блокнотика формата A7, смотрите картинку [3]. Нитка тонкая, самая обычная, но какая конкретно --- не знаю. Бумага обычная офисная белая, 80 г/м^2. Волокна бумаги ориентированы неправильно, так как когда делал вообще не знал об этом, не обращайте внимания, вряд ли для теста схемы сшивания это имеет большое значение. Перед сшиванием сделаны пропилы канцелярским ножом. Тут четыре ``скрепляющих столбика'' (как это называется?), но достаточно было и двух. Связаны 16 тетрадок, каждая из которых сделана из 3 согнутых пополам листов формата A6, то есть каждая тетрадка шестилистовая. Да, крайние тетрадки при таком методе немного выдаются из ряда, ну и что.

Смысл в том, что раскрываемость высокая, можно раскрыть листы одновременно и спереди, и сзади, и добиться того, что толщина двух раскрытых сторон книжки более-менее одинаковая, пример на рисунке [4]. Наверное, это удобно и имеет какое-то значение для блокнота.

Про долговечность, прочность и тому подобное не знаю ничего.

[1]: https://files.catbox.moe/4azo8a.JPG (JPG картинка, 0.2 MB)
[2]: https://files.catbox.moe/w4eza6.JPG (JPG картинка, 0.1 MB)
[3]: https://files.catbox.moe/8p8mv7.jpg (JPG картинка, 1 MB)
[4]: https://files.catbox.moe/uuj7s5.jpg (JPG картинка, 1.3 MB)

Current Mood: tired
Tags: bookbinding

Сопряжённость между \otimes и \Hom
Из жанра приколов.

Пусть A, B, C --- абелевы группы. Тогда имеем следующий изоморфизм: \Hom(A \otimes B, C) \cong \Hom(B, \Hom(A, C)).

Пусть теперь A --- S-R-бимодуль, B --- R-модуль, C --- S-модуль. Мы хотим вывести изоморфизм \Hom_S(A \otimes_R B, C) \cong \Hom_R(B, \Hom_S(A, C)) из предыдущего изоморфизма.

Пусть M --- бимодуль над кольцом R. Определим его нулевые гомологии и когомологии Хохшильда следующим образом:
HH_0(R, M) := M / {rm=mr | r \in R, m \in M},
HH^0(R, M) := {m \in M | rm=mr для всех r \in R},
где факторизация в определении HH_0(R, M) --- это факторизация абелевой группы по абелевой подгруппе.

[Очень надеюсь, что не напутал, и это реально HH_0 и HH^0.]

Тогда A \otimes_R B := HH_0(R, A \otimes B) и \Hom_S(A, C) := HH^0(S, \Hom(A, C)).

Введём обозначения F(A, B) := A \otimes B и G(A, C) := \Hom(A, C).

Тогда
HH^0(S, \Hom(HH_0(R, F(A, B)), C)) \cong
HH^0(S, HH^0(R, \Hom(F(A, B), C)))
и
HH^0(R, \Hom(B, HH^0(S, G(A, C)))) \cong
HH^0(R, HH^0(S, \Hom(B, G(A, C)))),
практически по определению.

Конец вывода.

Current Mood: excited
Tags: math

Гештальт(?)
Когда то давно (2023-10-30) задал вопрос "Нельзя ли уменьшить горизонтальные отступы между последовательными сообщениями в ветке, скажем, раза в два?" (см. [1]). Отвечаю сам себе. Тут есть кастомизация и в системе стилей S2 можно для своего дневника так сделать.

[1]: https://lj.rossia.org/users/tiphareth/2548194.html?thread=194061538#t194061538

Полные метрические пространства
Пусть X --- метрическое пространство. Тогда можно рассмотреть следующие два свойства.

1) Любая последовательность Коши в X сходится.
2) Для любой пары (Y,Y') из метрического пространства Y и его плотного подпространства Y' любое равномерно непрерывное отображение Y' \to X продолжается до непрерывного отображения Y \to X.

Общеизвестно, что (1) \implies (2). Похоже, обратное тоже верно.

Доказательство.
Рассмотрим множество точек отрезка [0,1] вида 2^{-n}, где n \in \N_0, которое обозначим через N'. Пусть N --- это N' \cup \{0\}.
Тогда последовательность --- это отображение N' \to X, а предел последовательности соответствует непрерывному продолжению этого отображения на N. Последовательность является последовательностью Коши тогда и только тогда, когда соответствующее отображение N' \to X равномерно непрерывно. Конец доказательства.

Должно быть, просто суперстандартный факт. Но как-то, мне кажется, он менее популярен, чем должен был быть.

Tags: math

Солнечные водонагреватели
Почему солнечные водонагреватели используются в мастштабе отедельных домов, но, кажется, не в большем масштабе? Что мешает, скажем, сначала нагревать воду на солнышке, а потом отправлять в ТЭС(/АЭС?)? Или в центральном отоплении, я не знаю.

Покрытия локализациями
UPD 2024-03-18 21.34 MSK. Похоже, вопрос закрыт (см. комментарии).

Вопрос

В лекции 7 Д. Каледина из курса, доступного по ссылке [1], в лемме 7.13 есть некое рассуждение.

Чуть обобщённое (быть может, неправильно), мне кажется, оно доказывает следующее.

Утверждение.
Пусть M --- модуль над ассоциативным коммутативным унитальным кольцом A, а (S_i)_{i \in I} --- семейство мультипликативных подмножеств A, такое что множества \Spec(A_{S_i}) покрывают множество \Spec(A).
Тогда последовательность как в определении пучка
0 \to M \to
\bigoplus_{i \in I} M_{S_i}
\to
\bigoplus_{(i,j) \in I \times I}
M_{S_i S_j}
точна.

Рассуждение такое. Для произвольного e \in I мы применяем к нашей последовательности функтор локализации по S_e и замечаем, что получившаяся последовательность точна по тривиальным причинам. Отсюда, в свою очередь, следует, что исходная последовательность точна.

...

Но в это как-то трудно поверить. Обычно когда схемы определяют, такое (похожее) утверждение доказывают в предположении конечности I. Неужели это утверждение реально верно в такой общности и рассуждение работает? Ощущение, что я что-то напутал.

[1]: https://homepage.mi-ras.ru/~kaledin/noc/index.html

Tags: math

http://verbit.ru/MATH/GALOIS-2013/
Для личного пользования собрал все листочки и слайды курса по теории Галуа со страницы [1] в один PDF файл.

Сам PDF (0.7 MB): [2].
ZIP архив с исходниками (0.9 MB): [3].

[1]: http://verbit.ru/MATH/GALOIS-2013/
[2]: https://files.catbox.moe/ntzne3.pdf
[3]: https://files.catbox.moe/2q5koa.zip

Tags: math

Интересно, можно ли создать E Ink доску для показа слайдов. Может быть, из блоков составить, не знаю. Может быть, будет приятнее для глаза, чем экран, и свет выключать не надо будет, но, опять же, не знаю.

Теорема Гамильтона-Кэли
Одно из стандартных доказательств теоремы Гамильтона-Кэли, переписанное чуть другими словами. Надеюсь, не напортачил.

Код LaTeX

\begin{theorem}[\scshape Теорема Гамильтона-Кэли]
\label{thm:Cayley-Hamilton}
Если \(x\) --- эндоморфизм свободного конечнопорождённого модуля \(V\) над ассоциативным коммутативным унитальным кольцом \(A\), то \(x\) является корнем своего характеристического многочлена.
\end{theorem}

\begin{proof}
Гомоморфизм \(A[X] \to \End_A(V)\), \(X \mapsto x\) индуцирует действие \(\End_A(V) \otimes_A A[X]\) на \(\End_A(V)\) через левое и правое умножение,
при этом \(\Id_V\) зануляется \(c \coloneqq x \otimes 1 - 1 \otimes X\), а потому зануляется и \(\det(c) \in A[X] \subset \End_A(V) \otimes_A A[X] \cong \End_{A[X]}(V \otimes_A A[X])\), кратным \(c\).
\end{proof}

Скриншот PDF (jpeg, примерно 0.4 MB):
https://files.catbox.moe/1zm5qe.jpeg

upd. 2024-02-19 13.33 MSK. Мелкие изменения.

Tags: math

Задача
Задача для себя на будущее: найти бескоординатное доказательство того, что коэффициенты характеристического многочлена оператора --- это следы его внешних степеней со знаками.

Tags: math

\hookrightarrow
Насколько же в LaTeX-е криво сделано сочленение с хвостом у дефолтной стрелки \hookrightarrow. Какая-то невероятная халтура. Про то, что дефолтная стрелка \twoheadrightarrow меньше чем надо --- вообще молчу. Это дело вообще кто-то планирует исправлять?

P.S. Забавный факт --- кончики стандартных стрелок в tikz-cd слегка отличаются от тех, что в тексте.

Tags: tex

Кто-нибудь может привести точную ссылку на какую-нибудь цитату Уильяма Ловера, где он говорит, что название "comma category" ему не нравится?

upd. 2024-02-15 23.42 MSK. Нашёл, см. комментарии.

Tags: math

[Ниже философская графомания, ценящим время и мозги читать не рекомендуется.]

Есть такое понятие --- распределитель/бимодуль/профунктор/бифунктор..., вот: [1], [2].

Будем понимать это дело как категорию над стрелкой (то есть с функтором в стрелку), слой над 0 назовём областью, слой над 1 --- кообластью. Цилиндр функтора и коцилиндр функтора превращают функтор в распределитель.

Будем называть распределитель A \to B финальным справа, если для любого a \in A категория стрелок вида a \to b, где b \in B, связна. Цилиндры финальны справа, ясно дело.

Пусть C --- категория. Мы можем рассмотреть категорию диаграмм такого вида: объекты --- это функторы f : I \to C, а морфизмами из f : I \to C в g : J \to C являются пары из финального справа распределителя из I в J и продолжения функторов f и g на этот распределитель. Это типа расширение обычной категории диаграмм, в которой морфизмы --- это пары из функтора и естественного преобразования.

Так вот, вроде бы копределы функториальны по расширенной категории диаграмм в таком смысле.

О чём это? Да ни о чём. Прелюдия к
Адская спекуляция: все эти штуки с распределителями --- это очень слабое указание на то, что существует какая-то парадигма, следующая после категорной.
Чувство дискомфорта какое-то возникает, как когда ты видишь, что объект недостаточно симметричный, а поправить когерентно сходу не можешь. Должно же оно быть чем-то оправдано.

P. S. Присобачу до кучи малосвязанное (?), всё равно философия:
Две конструкции шифификации похожи на "конструкцию через предел копределов" (через сечения пространства ростков) и "конструкцию через копредел пределов" (конструкция по измельчающимся покрытиям). Ясно (?), что тут морфизм перестановки копределов и пределов присутствует, но формально его вроде нет.

[1]: https://ncatlab.org/joyalscatlab/show/Distributors+and+barrels
[2]: https://ncatlab.org/nlab/show/profunctor

Tags: math, неважное

Праздный вопрос: у вложения категории (малых) абелевых категорий в категорию (малых) категорий есть левый сопряжённый функтор?

Tags: math, неважное

Мелкое замечание про аддитивные категории
Сейчас будет короткий поток сознания.

Похоже, преаддитивная категория аддитивна тогда и только тогда, когда квадрат ассоциативности кодиагонали декартов.
Потому что, наверное, моноид в категории является группой тогда и только тогда, когда его квадрат ассоциативности декартов, смотри [1].
Предупреждение: это запросто может быть и неверным, я подробно не проверял.

Но условие декартовости квадрата ассоциативности кодиагонали имеет смысл и без требования преаддитивности. Интересно, в других контекстах оно где-нибудь встречалось?

[1] https://twitter.com/CihanPostsThms/status/1656363838713786385

Tags: math, неважное

Предаддитивные категории
Кажется, что предаддитивная категория в смысле раздела 1.3 статьи [1] --- это то же самое, что категория, в которой конечные произведения и копроизведения существуют и коммутируют друг с другом. Предупреждение: может это и неверно, я подробно не проверял.

С другой стороны, стандартный морфизм из коядра ядра в ядро коядра как-то смутно смахивает чисто по формулировке на морфизм перестановки пределов. Интересно, нет ли тут какой-то связи тоже.

[1]: https://arxiv.org/abs/2112.02155

Tags: math

Пустой предел
Пример пустого предела, несколько раз упоминавшийся на LJR, например, по ссылке [1], записан в The Stacks project, по ссылке [2]. А там ссылка на статью 1972 года некоего Уильяма Уотерхауса. Наверное, можно называть это "контрпример Уотерхауса", если хочется дать какое-то именное название.

[1] http://lj.rossia.org/users/tiphareth/1761692.html?thread=106418588#t106418588
[2] https://stacks.math.columbia.edu/tag/0AKK

Tags: math

Некоторые обозначения в TeX
Для точки в комплексах работающее решение изложено тут:
https://tex.stackexchange.com/a/424252
Мне нравится \bigcdot@scalefactor 0.7 и \bigcdot@widthfactor 1.5.
Фактор 0.7 уменьшает площадь примерно в 2 раза, а фактор 1.5 делает выражения типа A^{\bigcdot + 1} выглядящими адекватно.

Образ множества X относительно отображения x \mapsto x^\lambda можно обозначать через X^{:\lambda}.
Обозначение странноватое, но, кажется, беспроблемное.
Это позволяет вместо ужасающего обозначения R^2 для множества квадратов элементов R писать R^{:2}.

Наконец, есть идея для "категории запятой" (комма-категории, англ. comma category) пары функторов
f: C \to S и g: E \to S использовать обозначение
C \tensor*[^f]{\lsqdiv}{^g_S} E (индексы можно опускать),
где \lsqdiv определяется так:
\newcommand{\lsqdiv}{%
\mathbin{\smash{\mkern4.5mu\mathclap{\rfloor}\mkern1mu\mathclap{\lceil}\mkern4.5mu}}}
Это "квадратный слэш", полученный склеиванием \rfloor и \lceil вдоль вертикальной линии.
Склеивание --- это колхоз, но такого символа в стандартном шрифте, вроде, нет, а тут оно выглядит не сильно вырвиглазно.
Кстати, кто-нибудь может сказать, как этот символ называется хоть где-то?

Tags: tex, неважное

Скомпилировал в один PDF записки лекций Д. Каледина по алгебраической геометрии отсюда:
https://homepage.mi-ras.ru/~kaledin/noc/index.html
Сделано для предполагаемого личного пользования в далёком-далёком будущем, но, наверное, если выложу, то вреда не будет.

TeX (XeLaTeX): https://files.catbox.moe/bp80g3.tex
PDF: https://files.catbox.moe/mkazp0.pdf

Tags: math