Y.Y.'s Journal
 
[Most Recent Entries] [Calendar View] [Friends]

Below are the 12 most recent journal entries recorded in Y.Y.'s LiveJournal:

    Friday, July 19th, 2030
    12:29 am
    Прикреплённый пост
    Для всяких мелочей.
    Sunday, September 1st, 2019
    2:23 am
    Самое красивое
    Самое красивое сочетание цветов: белый, чёрный, красный (снег, уголь и кровь) --- цвета нацистского флага. Самый красивый телескоп --- LBT.
    Monday, August 26th, 2019
    9:11 pm
    Центральный крест храма Александра Невского в Переславле-Залесском
    Граф Кэли свободной группы от двух образующих:
    Tuesday, August 13th, 2019
    12:24 pm
    Существование алгебраического замыкания
    Применим лемму Цорна к множеству алгебраических расширений поля $F$, упорядоченных отношением $\subset$. Только это не множество, поэтому мы должны ограничится подмножествами $U$, где $\mathrm{card}(U)>\mathrm{card}(F[X])$.

    upd. 14.08.2019 22:11 Мск
    Wednesday, August 7th, 2019
    10:25 am
    Теорема Тихонова
    Вот тут:
    https://ncatlab.org/nlab/show/closed-projection+characterization+of+compactness
    содержится доказательство теоремы Тихонова. Но оно использует трансфинитную индукцию, а это как-то неуютно. Однако, кажется, её можно легко заменить леммой Цорна:

    \begin{theorem}
    \label{thm:closed-proj}
    Пространство $X$ компактно тогда и только тогда, когда для любого пространства $Y$ проекция $p: X \times Y \to Y$ переводит замкнутые подмножества в замкнутые.
    \end{theorem}

    \begin{lemma}
    \label{lem:comp-prod}
    Пусть $S \subset (\prod_{i \in I} X_i) \ni s$, $s_F \in \overline{S_F}$ для любого конечного $F \subset I$, где $X_i$ --- топологические пространства, $s_F$ и $S_F$ --- проекции $s$ и $S$ на $\prod_{i \in F} X_i$. Тогда $s \in \overline{S}$.
    \end{lemma}

    \begin{lemma}
    \label{lem:im-closed}
    При непрерывном отображении образ замыкания содержится в замыкании образа.
    \end{lemma}

    \begin{theorem}
    Произведение компактных топологических пространств $X_i$, $i \in I$ компактно.
    \end{theorem}

    \begin{proof}[Набросок доказательства]
    Пусть $Y$ --- произвольное топологическое пространство, $S \subset (\prod_{i \in I} X_i) \times Y$, а $S_J \subset (\prod_{i \in J} X_i) \times Y$ для $J \subset I$ --- проекции $S$. Согласно теореме \ref{thm:closed-proj} нужно доказать, что у любого $s \in \overline{S_\varnothing}$ есть прообраз в $\overline{S}=\overline{S_I}$. Применим лемму Цорна к $\bigcup_{J \subset I} \overline{S_J}$, где $s \succ w$ $\iff$ $s$ проецируется на $w$. Линейно упорядоченное множество $w_i \in \overline{S_{J_i}}$ очевидным образом определяет $w \in (\prod_{j \in \cup J_i} X_j) \times Y$, леммы \ref{lem:comp-prod} и \ref{lem:im-closed} показывают, что $w \in \overline{S_{\cup J_i}}$. Если $w \in \overline{S_J}$ --- максимальный, то $J=I$, иначе $w$ можно поднять в $\overline{S_{J \cup \{j\}}}$, где $j \in I \setminus J$.
    \end{proof}

    upd. 08.08.2019 10:45 Мск
    Monday, July 29th, 2019
    6:07 pm
    Японцы и национализм
    Часто слышу мнение, что японцы --- это пиздец какие националисты. То есть это некий консенсус, причём это чуть ли не единственный пример <<успешной страны>>, которая националистическая. Так вот, а что сами японцы думают по этому поводу? Они считают себя националистами или нет?
    Sunday, July 28th, 2019
    1:23 am
    Митинги
    Господи, как же мне нравятся митинги, которые сейчас проходят в Москве.
    Это то, каким образом сражаются с судьбой.
    Monday, July 15th, 2019
    9:13 pm
    Содержание для видеолекций Н. Вавилова по алгебре
    Когда-то промотал эти лекции и сделал содержание (наспех). Вот:
    https://pastebin.com/bznnRKL6
    Сами лекции не смотрел, ибо тягомотина.

    P.S. До чего же уебанское алгебраическое доказательство теоремы Гамильтона-Кэли на лекции 39.
    Sunday, July 14th, 2019
    3:18 pm
    Кольцо разложения
    J.S. Milne, Algebraic Number Theory
    Chapter 2, First proof that the integral elements form a ring
    https://jmilne.org/math/CourseNotes/ant.html

    По-моему тут не обязательно предполагать целостность $A$.

    Теорема. Пусть $B$ --- $A$-алгебра. Тогда целые над $A$ элементы $B$ образуют кольцо.

    Мы хотим доказать это с помощью симметрических многочленов.

    Наблюдение: на многочлены со старшим коэффициентом $1$, которые мы будем называть нормированными, можно делить над любым кольцом. Если $P(a)=0$, то $P(X)=(X-a)Q(X)$. Благодаря этому можно построить кольцо разложения нормированного многочлена над любым кольцом $R$, причём $R$ в него вкладывается.

    Пусть $g,h \in B$ целые над $A$. Тогда соответствующие многочлены можно разложить так: $(X-g)P(X)$, $(X-h)Q(X)$. Вложим $B$ в кольцо разложения $P(X)$, а затем $Q(X)$. Пусть $F$ --- многочлен от полученных корней $(X-g)P(X)(X-h)Q(X)$. Тогда $F$ является корнем многочлена $\prod_{\sigma} (X - \sigma(F))$, где $\sigma$ означает перестановки переменных $F$, причём коэффициенты этого многочлена являются симметрическими многочленами от корней $(X-g)P(X)(X-h)Q(X)$, следовательно, лежат в $A$. Взяв $F=g+h$, или $F=g-h$, или $F=gh$, получаем доказательство теоремы.

    С $F$ получилось немного косноязычно (путается многочлен и его значение), но, думаю, понятно.
    Friday, July 12th, 2019
    12:20 am
    Школьная физика
    Помню, когда учился в школе, увидел один учебник по физике, который произвёл на меня впечатление:
    http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/publication/pub_fremdsprachen/englisch.html
    Надо же, бывают учителя, которые как-то мыслят!
    Не всё хорошо, наверное, я вообще в физике ноль. Но посмотреть, возможно, стоит. Точно оригинально.

    Например.
    В качестве основы берётся импульс, который можно суггестивно почувствовать --- это "количество движения". Он ведёт себя как субстанция.
    Сила --- это поток импульса, присваивается куску поверхности.
    Тогда все три закона Ньютона становятся очевидными. Например, третий закон: сколько импульса уходит из A, столько и входит в B.
    Wednesday, July 10th, 2019
    10:32 pm
    Бог и игрушки
    Бог играет, так же, как ребёнок, а мы --- его игрушки.
    Он очень увлечён игрой и не осознаёт себя.
    То есть сознание каждого из нас --- это сознание Бога.
    А когда он перестанет играть, он сам станет игрушкой.
    3:43 pm
    Ориентированные симплексы
    Ничего не знаю, но интересуюсь элементарными математическими вещами.

    Некоторые тексты: https://mega.nz/#F!LyglUAAT!K4eIT3HGnARicCLOzbjHsQ

    Ориентированные симплексы.

    Всегда смущало идиотское (но полезное?) определение ориентированного симплекса, использующее нумерацию вершин, и соответствующее определение его границы. Попытался дать инвариантное определение с помощью индукции.

    Идея состоит в том, чтобы отождествить ориентированный симплекс с его границей.

    Ориентированный 0-симплекс --- это точка с навешанным числом +1 или -1.
    Ориентированный 1-симплекс --- это пара точек, на одну из которых навешано +1, а на другую --- -1.
    И так далее.

    Будем использовать не только +1 и -1, а любые целые числа.

    Назовём симплексом конечное множество, а его подсимплексами --- подмножества. Для каждого симплекса $a$ определим абелеву группу $C_a$ и оператор границы: это ядро $\oplus C_b \to \oplus C_c$, где $b$ --- максимальные подсимплексы $a$, $c$ --- максимальные подсимплексы $b$ (каждый $c$ берётся по одному разу), а отображение является суммой (определённых ранее по индукции) операторов границы.
    Для пустого множества абелева группа выбирается произвольно, для универсальности возьмём целые числа, а граница --- это нулевое отображение в ноль (пустую сумму).

    Кажется, автоматически работает и для кубов.
    Зачем нужно --- не знаю, просто одержим инвариантностью. А так, кажется довольно изящным и вполне в тавтологическом духе гомологий.
About LJ.Rossia.org