Y.Y.'s Journal
 
[Most Recent Entries] [Calendar View] [Friends]

Below are the 20 most recent journal entries recorded in Y.Y.'s LiveJournal:

    [ << Previous 20 ]
    Friday, July 19th, 2030
    12:29 am
    Прикреплённый пост
    Для всяких мелочей и потоков сознания.

    Математические заметки:
    https://mega.nz/folder/LyglUAAT#K4eIT3HGnARicCLOzbjHsQ
    (постоянно обновляются и переписываются, каюсь, каюсь, каюсь)

    Можно использовать свободно, можно задавать тут любые вопросы и писать любые замечания.
    Tuesday, February 20th, 2024
    12:21 pm
    Интересно, можно ли создать E Ink доску для показа слайдов. Может быть, из блоков составить, не знаю. Может быть, будет приятнее для глаза, чем экран, и свет выключать не надо будет, но, опять же, не знаю.
    Monday, February 19th, 2024
    4:41 am
    Теорема Гамильтона-Кэли
    Одно из стандартных доказательств теоремы Гамильтона-Кэли, переписанное чуть другими словами. Надеюсь, не напортачил.


    Код LaTeX
    \begin{theorem}[\scshape Теорема Гамильтона-Кэли]
    \label{thm:Cayley-Hamilton}
    Если \(x\) --- эндоморфизм свободного конечнопорождённого модуля \(V\) над ассоциативным коммутативным унитальным кольцом \(A\), то \(x\) является корнем своего характеристического многочлена.
    \end{theorem}

    \begin{proof}
    Гомоморфизм \(A[X] \to \End_A(V)\), \(X \mapsto x\) индуцирует действие \(\End_A(V) \otimes_A A[X]\) на \(\End_A(V)\) через левое и правое умножение,
    при этом \(\Id_V\) зануляется \(c \coloneqq x \otimes 1 - 1 \otimes X\), а потому зануляется и \(\det(c) \in A[X] \subset \End_A(V) \otimes_A A[X] \cong \End_{A[X]}(V \otimes_A A[X])\), кратным \(c\).
    \end{proof}


    Скриншот PDF (jpeg, примерно 0.4 MB):
    https://files.catbox.moe/1zm5qe.jpeg

    upd. 2024-02-19 13.33 MSK. Мелкие изменения.
    Sunday, February 18th, 2024
    5:03 pm
    Задача
    Задача для себя на будущее: найти бескоординатное доказательство того, что коэффициенты характеристического многочлена оператора --- это следы его внешних степеней со знаками.
    Thursday, February 15th, 2024
    5:48 pm
    \hookrightarrow
    Насколько же в LaTeX-е криво сделано сочленение с хвостом у дефолтной стрелки \hookrightarrow. Какая-то невероятная халтура. Про то, что дефолтная стрелка \twoheadrightarrow меньше чем надо --- вообще молчу. Это дело вообще кто-то планирует исправлять?

    P.S. Забавный факт --- кончики стандартных стрелок в tikz-cd слегка отличаются от тех, что в тексте.
    2:33 pm
    Кто-нибудь может привести точную ссылку на какую-нибудь цитату Уильяма Ловера, где он говорит, что название "comma category" ему не нравится?

    upd. 2024-02-15 23.42 MSK. Нашёл, см. комментарии.
    Wednesday, February 14th, 2024
    1:40 pm
    [Ниже философская графомания, ценящим время и мозги читать не рекомендуется.]

    Есть такое понятие --- распределитель/бимодуль/профунктор/бифунктор..., вот: [1], [2].

    Будем понимать это дело как категорию над стрелкой (то есть с функтором в стрелку), слой над 0 назовём областью, слой над 1 --- кообластью. Цилиндр функтора и коцилиндр функтора превращают функтор в распределитель.

    Будем называть распределитель A \to B финальным справа, если для любого a \in A категория стрелок вида a \to b, где b \in B, связна. Цилиндры финальны справа, ясно дело.

    Пусть C --- категория. Мы можем рассмотреть категорию диаграмм такого вида: объекты --- это функторы f : I \to C, а морфизмами из f : I \to C в g : J \to C являются пары из финального справа распределителя из I в J и продолжения функторов f и g на этот распределитель. Это типа расширение обычной категории диаграмм, в которой морфизмы --- это пары из функтора и естественного преобразования.

    Так вот, вроде бы копределы функториальны по расширенной категории диаграмм в таком смысле.

    О чём это? Да ни о чём. Прелюдия к
    Адская спекуляция: все эти штуки с распределителями --- это очень слабое указание на то, что существует какая-то парадигма, следующая после категорной.
    Чувство дискомфорта какое-то возникает, как когда ты видишь, что объект недостаточно симметричный, а поправить когерентно сходу не можешь. Должно же оно быть чем-то оправдано.

    P. S. Присобачу до кучи малосвязанное (?), всё равно философия:
    Две конструкции шифификации похожи на "конструкцию через предел копределов" (через сечения пространства ростков) и "конструкцию через копредел пределов" (конструкция по измельчающимся покрытиям). Ясно (?), что тут морфизм перестановки копределов и пределов присутствует, но формально его вроде нет.

    [1]: https://ncatlab.org/joyalscatlab/show/Distributors+and+barrels
    [2]: https://ncatlab.org/nlab/show/profunctor
    Saturday, February 3rd, 2024
    12:37 am
    Праздный вопрос: у вложения категории (малых) абелевых категорий в категорию (малых) категорий есть левый сопряжённый функтор?
    Wednesday, January 24th, 2024
    8:31 pm
    Мелкое замечание про аддитивные категории
    Сейчас будет короткий поток сознания.

    Похоже, преаддитивная категория аддитивна тогда и только тогда, когда квадрат ассоциативности кодиагонали декартов.
    Потому что, наверное, моноид в категории является группой тогда и только тогда, когда его квадрат ассоциативности декартов, смотри [1].
    Предупреждение: это запросто может быть и неверным, я подробно не проверял.

    Но условие декартовости квадрата ассоциативности кодиагонали имеет смысл и без требования преаддитивности. Интересно, в других контекстах оно где-нибудь встречалось?

    [1] https://twitter.com/CihanPostsThms/status/1656363838713786385
    Wednesday, January 17th, 2024
    11:12 pm
    Предаддитивные категории
    Кажется, что предаддитивная категория в смысле раздела 1.3 статьи [1] --- это то же самое, что категория, в которой конечные произведения и копроизведения существуют и коммутируют друг с другом. Предупреждение: может это и неверно, я подробно не проверял.

    С другой стороны, стандартный морфизм из коядра ядра в ядро коядра как-то смутно смахивает чисто по формулировке на морфизм перестановки пределов. Интересно, нет ли тут какой-то связи тоже.

    [1]: https://arxiv.org/abs/2112.02155
    11:08 pm
    Пустой предел
    Пример пустого предела, несколько раз упоминавшийся на LJR, например, по ссылке [1], записан в The Stacks project, по ссылке [2]. А там ссылка на статью 1972 года некоего Уильяма Уотерхауса. Наверное, можно называть это "контрпример Уотерхауса", если хочется дать какое-то именное название.

    [1] http://lj.rossia.org/users/tiphareth/1761692.html?thread=106418588#t106418588
    [2] https://stacks.math.columbia.edu/tag/0AKK
    Thursday, January 11th, 2024
    7:41 pm
    Некоторые обозначения в TeX
    Для точки в комплексах работающее решение изложено тут:
    https://tex.stackexchange.com/a/424252
    Мне нравится \bigcdot@scalefactor 0.7 и \bigcdot@widthfactor 1.5.
    Фактор 0.7 уменьшает площадь примерно в 2 раза, а фактор 1.5 делает выражения типа A^{\bigcdot + 1} выглядящими адекватно.

    Образ множества X относительно отображения x \mapsto x^\lambda можно обозначать через X^{:\lambda}.
    Обозначение странноватое, но, кажется, беспроблемное.
    Это позволяет вместо ужасающего обозначения R^2 для множества квадратов элементов R писать R^{:2}.

    Наконец, есть идея для "категории запятой" (комма-категории, англ. comma category) пары функторов
    f: C \to S и g: E \to S использовать обозначение
    C \tensor*[^f]{\lsqdiv}{^g_S} E (индексы можно опускать),
    где \lsqdiv определяется так:
    \newcommand{\lsqdiv}{%
    \mathbin{\smash{\mkern4.5mu\mathclap{\rfloor}\mkern1mu\mathclap{\lceil}\mkern4.5mu}}}
    Это "квадратный слэш", полученный склеиванием \rfloor и \lceil вдоль вертикальной линии.
    Склеивание --- это колхоз, но такого символа в стандартном шрифте, вроде, нет, а тут оно выглядит не сильно вырвиглазно.
    Кстати, кто-нибудь может сказать, как этот символ называется хоть где-то?
    Tuesday, November 21st, 2023
    11:35 am
    Скомпилировал в один PDF записки лекций Д. Каледина по алгебраической геометрии отсюда:
    https://homepage.mi-ras.ru/~kaledin/noc/index.html
    Сделано для предполагаемого личного пользования в далёком-далёком будущем, но, наверное, если выложу, то вреда не будет.

    TeX (XeLaTeX): https://files.catbox.moe/bp80g3.tex
    PDF: https://files.catbox.moe/mkazp0.pdf
    Friday, October 13th, 2023
    5:33 pm
    Лемма Адамара и лемма Морса
    Читал самый начальный кусок лекций
    https://old.mccme.ru/ium//s05/trivium.html
    и возникли сомнения в доказательствах из лекции 3, скажем, в доказательстве предложения 1.4 почему $D(f - f') = 0$ на $W$.
    Набросал альтернативное доказательство:
    https://files.catbox.moe/4grju1.pdf
    Возможно, выглядит громоздко, и, возможно, неверно, не знаю. Много пропусков. Как бы то ни было.
    Sunday, August 20th, 2023
    9:07 am
    Сечения Дедекинда и кольцо Гротендика
    Определим сечение Дедекинда как непустое собственное открытое замкнутое вправо подмножество \Q.
    Сложение определим как поточечное сложение подмножеств, порядок --- через порядок на подмножествах.
    Проведём, возможно, немного нетривиальную проверку, что у каждого сечения есть аддитивно обратное сечение.
    Определим умножение неотрицательных сечений как поточечное умножение подмножеств.
    Легко видеть, что неотрицательные сечения образуют полукольцо.
    Теперь заметим, что кольцо Гротендика полукольца неотрицательных сечений можно отождествить с множеством всех сечений. Таким образом, умножение получается автоматически.
    В итоге, по сути, нам нужно провести две проверки, одну --- в начале, другую --- в конце:
    1. Наличие аддитивно обратных для всех сечений.
    2. Наличие мультипликативно обратных для строго положительных сечений.

    Если конечно, ничего не напутал, детали не проверял.

    UPD. 2023-08-29 14.31 MSK
    В общем-то это очередной бессодержательный пост, единственный смысл которого в том, что я чуть-чуть лучше разобрался в сечениях Дедекинда. Надо завязывать.
    Thursday, July 20th, 2023
    10:40 pm
    Блокада Нагорного Карабаха продолжается и стала почти полной.

    Current Mood: sad
    Saturday, June 17th, 2023
    1:57 pm
    Уравнения Эйлера-Лагранжа
    [info]sometimes
    >уравнения Эйлера-Лагранжа можно
    >написать в бескоординатной форме, но они выглядят намного более громоздко
    >(и обычно их никто в такой форме не видел)
    Source: http://lj.rossia.org/users/tiphareth/2360412.html?thread=147152476#t147152476

    [info]sometimes
    >Показательно, например, что даже уравнения Эйлера-Лагранжа (не говоря о теореме Нетер) нигде в монографиях не пишут инвариантно, все в координатах; в статьях инвариантную формулировку можно найти, и она довольно громоздка.
    Source: http://lj.rossia.org/users/tiphareth/2360412.html?thread=147483740#t147483740

    [info]polytheme
    >я повторяю, сам не смотрел - но из интересного там могло бы быть инвариантное изложение уравнений Лагранжа
    Source: http://lj.rossia.org/users/polytheme/251035.html?thread=1132187#t1132187

    Вообще никаких более-менее учебных текстов нет, где с этой "инвариантной формулировкой уравнений Эйлера-Лагранжа" можно ознакомиться?
    Sunday, May 28th, 2023
    4:39 pm
    Без применения алгебраической геометрии
    В предисловии к книге <<Введение в теорию алгебр Ли и их представлений>> Хамфри/Хамфрис пишет:
    <<Теорема сопряжённости для картановских подалгебр доказывается (следуя Уинтеру и Мостову) элементарными методами теории алгебр Ли без применения алгебраической геометрии.>>.
    Но в лемме А из пункта 15.2 (<<Подалгебры Энгеля>>) по сути используется алгебраическая геометрия. Очень очень примитивная, конечно, но.
    Это применение АГ похоже на применение АГ в дополнении к параграфу 23.
    Thursday, April 13th, 2023
    2:41 am
    Метр
    Если считать Землю шаром, то расстояние по поверхности от северного полюса до экватора --- это примерно 10^7 метров (10 000 километров).
    Это определение метра.
    10 --- это количество пальцев на двух руках человека
    ^7 --- это чтобы метр был как можно ближе к росту человека
    Monday, March 27th, 2023
    5:11 pm
    В статье TYCHONOFF’S THEOREM IN A CATEGORY (MARIA MANUEL CLEMENTINO AND WALTER THOLEN)
    https://www.ams.org/journals/proc/1996-124-11/S0002-9939-96-03435-1/S0002-9939-96-03435-1.pdf
    раздел 4 (Examples) пункт 3 написано:

    >The Theorem shows that the fibred product of proper maps is proper. From this fact one derives immediately Frol´ık’s [8] generalization of Tychonoff’s Theorem, namely that the direct product of proper maps is proper.

    Это ``one derives immediately'' как происходит?
[ << Previous 20 ]
About LJ.Rossia.org