Контрамодули над топологическими кольцами
Над полным топологическим кольцом A (подразумевается ассоциативное кольцо с топологией, такое что отображения вычитания и умножения являются непрерывными функциями двух переменных) можно определить левые контрамодули, если открытые правые идеалы образуют в нем базу окрестностей нуля. Делается это так: кольцу A и множеству X сопоставляется множество A[X] бесконечных линейных комбинаций элементов X с коэффициентами, сходящимися в A к нулю. Другими словами, элементом A[X] является формальная сумма вида ∑_x∈X a_xx, где для любой открытой окрестности нуля U⊂A лишь конечное число a_x не принадлежит U. Имеется очевидное вложение X → A[X]. Если открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля в A, то имеется кроме того отображение "раскрытия скобок" A[A[X]] → A[X], сопоставляющее формальную сумму каждой формальной сумме формальных сумм. Таким образом, на функторе X→A[X] имеется структура монады на категории множеств. Контрамодулем над A называется модуль над этой монадой, т.е. множество P вместе с отображением A[P] → P, удовлетворяющим аксиомам ассоциативности и единицы. Очевидно, каждый контрамодуль над A является (нетопологическим) A-модулем. Следовало бы проверить, что категория контрамодулей абелева (причем забывающий функтор из нее в категорию A-модулей точен и сохраняет бесконечные произведения).

Для сравнения: если открытые левые идеалы образуют базу топологии A, то имеет смысл рассматривать дискретные левые A-модули M (для которых отображение действия непрерывно в дискретной топологии M). [Саша Б.]

Update: Когда же A является алгеброй над полем, вместо A[X] можно рассматривать монаду A⊗^X = lim A/U⊗X на категории векторных пространств (где обратный предел берется по всем открытым правым идеалам A). Надо бы научиться проверять эквивалентность этих двух определений. (UUpdate 14.05.08: это несложно; отображение A[X] → A⊗^X сюръективно и нужно только показать, что его ядро переводится отображением контрадействия в ноль; для этого полезно выбрать базис I в X как векторном пространстве и заметить, что A[I] изоморфно A⊗^X.)