G_2 and the "Rolling Distribution"
Рассказал А. Каплан (ныне обретающийся в Кордобе).
Важная задача в науке о роботах.

Пусть в R^3 фиксирован шар радиуса 1,
а по нему катается шар радиуса r. Пространство
параметров M такой системы пятимерно: два измерения
точка касания, еще три - поворот второго шара.
Это фактор S^2 \times S^3 по \Z_2.
В нем есть двумерное распределение D, полученное
из катаний без проскальзываний и поворотов (как
если бы на шарах были бы граненые шипы и пазы).
Оно неинтегрируемое, причем от любой точки M
в любую можно переместиться по кривой, касательной
к этому распределению (что дает на M структуру
субриманова многообразия).

Рассмотрим группу автоморфизмов пары (M, D).
Оказывается, что когда радиусы шаров не соотносятся
как 3:1, это SO(3)\times SO(3), а когда это 1:3,
автоморфизмы - некомпактная вещественная форма
группы G_2. Картан, открывший G_2 и ее некомпактную
вещественную форму, впервые получил ее именно как
группу автоморфизмов этой конфигурации. Это было
в его диссертации (1894).

В чем причина этого загадочного явления, наука
до сих пор не знает.

Вот про это дело хорошая статья:

Gil Bor, Richard Montgomery
Title: G_2 and the "Rolling Distribution"
http://arxiv.org/abs/math/0612469

Пусть A есть алгебра пара-октав.
Ее автоморфизмы - некомпактная вещественная форма G_2.
Тогда M можно представить как проективизацию множества
всех мнимых пара-октав, которые в квадрате дают 0.
Мнимые октавы имеют размерность 7, квадрат мнимой
октавы всегда вещественный, что дает размерность 6,
а проективизация - размерность 5. Таким образом
G_2 действует на компактном пятимерном многообразии.

Привет