Когомологии и замена базы.
Меня немножко утомили люди, которые считают, что когомологии когерентных пучков коммутируют с произвольными заменами базы при достаточных условиях собственности/плоскости морфизма/пучка. Это просто неверно, я сейчас построю конкретный контрпример, с некоторым трудом его можно сделать настолько хорошим, насколько это в принципе возможно. Для простоты мы ограничимся прямым образом, уже для него коммутирование с произвольными заменами базы будет неверно.

Утверждение: Пусть f:X-->S проективный плоский морфизм нётеровых схем и F -- векторное расслоение на X, тогда f_*F коммутирует с произвольной заменой базы.

Это утверждение неверно даже при таких хороших условиях. Мы построим пример, в котором S будет спектром DVR, X -- проективной относительной кривой со связными слоями и геометрически целым гладким общим слоем, а F просто структурным пучком. При некотором усердии можно добиться, чтобы X была регулярной схемой (но не S-гладкой), то есть это утверждение неверно при любых сколь угодно хороших условиях.

Сначала я скажу почему утверждение выше не имеет никаких шансов быть верным. Пусть S=Spec R и R -- кольцо дискретного нормирования (конечного типа над \C, если угодно), а f:X-->S плоский собственный морфизм, такой что общий слой гладкий и геометрически связный, то есть f:X-->S есть "семейство" многообразий, в котором общий слой геометрически связный и гладкий. Тогда из конечности прямого образа при собственных морфизмах мы заключаем, что f_*\O_X -- когерентный \O_S-модуль, то есть A:=H^0(X,\O_X)--конечный R-модуль. Далее, так как X_0, общий слой морфизма f, является геометрически целым и собственным, то мы заключаем, что H^0(X_0,\O_{X_0})=Frac(R)=:K (стандартный факт, из собственности X_0 мы понимаем, что A_0:=H^0(X_0,\O_{X_0}) -- конечная алгебра над полем Frac(R). Так как X_0 геометрически связная, то A_0\otimes_K \overline{K} не имеет идемпотентов. А так как X_0 геометрически приведённая, то A_0\otimes_K \overline{K} не имеет нильпотентов. Из классификации конечных алгебр над полем легко увидеть, что при таких условиях A_0=K). Таким образом, мы знаем, что A есть конечная R-алгебра и Frac(A)=A\otimes_R K=K. Из плоскости X над S мы видим, что естественное отображение R-->A инъективно. Но тогда A является конечным расширением R внутри поля вычетов R, это влечёт R=A в силу нормальности R! То есть мы можем заключить, что \O_S-->f_*\O_X изоморфизм! А тогда принцип связности Зарисского влечёт, что все слои f:X-->S связные.


Давайте поймём что вообще значит условие коммутирования с заменой базы. Рассмотрим замкнутое вложение замкнутой точки s в S i_s:Spec k(s) -->S. Тогда f_* F коммутирует с i_s <=> H^0(X,F)\otimes_R k(s)= H^0(X_s, F|_s), где X_s слой над замкнутой точкой и F|_{s} -- ограничение пучка на X_s. Посмотрим, что это значит в нашем случае. У нас F=\O_X, и H^0(X,\O_X)=R, таким образом мы видим, что условие коммутирования с заменой базы на замкнутое вложение замкнутой точки равносильно равенству

k(s)=H^0(X_s,\O_{X_s}).

Но это довольно сильное равенство! В частности, оно влечёт, что замкнутый слой приведён. Аналогичное рассуждение, применённое к отображению геометрической замкнутой точки в S i_{\overline s}:Spec \overline{k(s)}-->S, показывает, что замкнутый слой должен быть и геометрически связный. Используя связность замкнутого слоя при наших условиях и теорему Cohomology and base change (FGA Explained, глава про формальные схемы), можно понять, что эти два условия на самом деле эквивалентны при наших условиях. Это показывает, что нет никакого шанса, что \O_X будет коммутировать с произвольными заменами базы, потому что, конечно, бывают плоские морфизмы, в которых общий слой (геометрически) связен и гладкий, а замкнутый слой имеет нильпотентны (кратности). Более того, можно добиться, чтобы отображение было относительной кривой, тотальное пространство "семейства" было регулярным, база была гладкая конечного типа над \C, что хотите. Я приведу самый простой, но не самый эффективный, пример.

В моём случае S=Spec \C[t]_{(t)} (R=\C[t]_{(t)})--спектр локального кольца аффинной прямой в нуле (эта схема не конечного типа над \C, но предел таковых. Легко можно написать мой пример над открытым куском A^1, если хочется добиться конечного типа). А Х=Proj R[x,y,z]/(x^2-tyz), тогда схема X естественным образом отображается в S. Заметим, что X не имеет вложенных точек, так как задано одним уравнением, которое не является (локально) делителем нуля, в регулярной схеме, поэтому X является Коэн-Маколеевой => не имеет вложенных точек (или можно просто проверить руками). Тогда R-плоскость равносильна тому, что в аффинных картах X не имеет t-кручения, это в свою очередь следует из того, что R[x,y,z]/(x^2-tyz) не имеет t-кручения. Следовательно, f:X-->S плоский морфизм, легко видеть, что каждый слой есть кривая (теорема Крулля о размерности). Осталось понять, что общий слой гладкий и геометрически связный. Гладкость следует из якобиева критерия гладкости (важно что мы не над полем характеристики 2!). Для геометрической связности достаточно доказать геометрическую неприводимость, это, в свою очередь, следует из целости кольца \overline{\C(t)}[x,y,z]/(x^2-tyz) (это следует из того, что x^2-tyz -- неприводимый многочлен). Поэтому общий слой морфизма f:X-->S действительно гладкий и геометрически связный!

Осталось понять, что замкнутый слой является неприведённым, тогда из рассуждения выше будет автоматически следовать, что f_*\O_X не коммутирует с заменами базы. Действительно, так как Proj-конструция коммутирует с произвольными заменами базы, то замкнутый слой есть Proj \C[x,y,z]/(x^2), ну а эта штука уже приведена (имеет нильпотент x в аффинных картах).

Таким образом мы построили желамый контрпример.

P.S. Верная теорема, связанная с коммутирование (высших) прямых образов и замены базы, называется Cohomology and Base Change. Она не является тавтологией, и она не является универсальной. В каждом конкретном случае, чтобы её применить, нужно знать что-то дополнительно про геометрию отображения f:X-->S.

UPD: Из этого примера, кстати, можно соорудить пример плоской собственной схемы X над аффинной схемой Spec R, такой что глобальные сечения структурного пучка не являются R-плоским модулем. Это тоже ошибка, которую я встречал миллион раз. В частности, она присутствует в книжке Qing Liu. Не совсем такая, но похожая ошибка встречается и в статье Артина "Algebraization of Formal Moduli I".