Два тривиальных примера теорем о перфектоидах
Когда я учил теорию перфектоидных пространств, то я всё время удивлялся как люди умудряются доказывать теоремы в такой огромной общности. Перфектоидные пространства почти никогда не нётеровые, даже подлежащие топологические пространства не являются нётеровыми (в отличии от Spec \O_{C_p}), интересные морфизмы почти никогда не являются морфизмами (топологически) конечного типа, нет разумной теории когерентных пучков, неизвестно является открытое вложение плоским морфизмом или нет, етц. Тем не менее Шольце (и другие) развили какую-никакую теорию, которая помогает решать некоторые *реальные* задачи (например) про этальные когомологии F_p-локальных систем на собственных (и гладких) жёстко-аналитических многообразиях. До Шольце никто даже не умел доказывать, что для собственных жёстко-аналитических пространств над C_p когомологии H^i(X, F_p) конечны! Доказательство Шольце использует теорию перфектоидных пространств критическим образом.

Однако я в разумности этой теории убедился только когда проделал два упражнения по ``общей топологии'', которые на мой взгляд во многом проясняют что тут происходит.

Я приведу два примера теорем про перфектоиды и их ``классических аналогов'', которые имеют очень простое доказательство.

Пример 1: Для начала мне нужно определить понятие про-этального морфизма перфектоидных пространств (для простоты аффинноидных перфектоидов). Морфизм Spa(S, S^+) --> Spa(R, R^+) называется про-этальным, если есть фильтрованная система этальных морфизмов Spa(R_i, R_i^+)--> Spa(R, R^+) что пара (S, S^+) изоморфна пополненного копределу (colim(R_i, R_i^+))^. [Это определение не совпадает с определением про-этального морфизма нётеровых адических пространств]

Это определение на первый взгляд максимально ужасно. В этом определении замкнутое(!) вложение точки в перфектоид является про-этальным морфизмом. Грубо говоря, в качестве системы этальных морфизмов нужно взять все открытые подмножества, содержащие нашу точку. Тогда по аналогии с комплексным анализом пересечение (предел) всех таких открытых будет ровно наша точка. Можно дать строгое доказательство, но это потребует некоторого аргумента, ортогонального теме этого поста. В частности, мы видим, что проэтальные морфизмы не обязательно открытые!

Это определение задаёт понятие топологии, а именно: мы называем систему отображений (X_i)_{i\in I}--> X аффинноидных перфектоидов покрытием, если есть конечное подмножество X_j, таких что они в сумме сюрьективно отображаются в X. В частности, дизъюнктное объединение точек не является покрытием в этой топологии.

Теорема 1: Для любого аффинноидного перфектоида Y представимый предпучок Hom_{Perf}(-, Y) является пучком в про-этальной топологии.

Другими словами, мы можем клеить морфизмы в перфектоидные пространства относительно про-этальных накрытий. Выглядит как бред ибо проэтальные морфизмы, как мы видели, не обязаны быть открытыми. Даже с топологической точки зрения не очень понятно почему это должно быть верно.

Однако следующее чисто топологическое утверждение проясняет что тут происходит. Перфектоидные пространства над точкой (Spa(C, \O_C)) это ровно проконечные множества, и эта биекция устанавливает изоморфизм категорий. Легко видеть, что любое отображение проконечных множеств является про-этальным, потому что любой морфизм проконечных множеств можно представить как предел отображений конечных множеств, а проэтальные морфизмы (между аффинноидами) замкнуты относительно пределов. При любом разумном определении этальных морфизмов, любой морфизм конечных множеств должен быть этальным.

Используя эту эквивалентность категорий легко видеть, что Теорема 1 в этом игрушечном случае говорит следующее:

Теорема 1': Для любого проконечного множества Y представимый предпучок Hom_{Profinite}(-, Y) является пучком в категории проконечных множеств (с компактными сюрьективными отображениями в качестве покрытий).

Но что это значит явно? Явно это значит, что если у меня есть сюрьективное отображение проконечных множеств X' --> X, то непрерывные отображения X-->Y находятся в биекции с непрерывными отображениями g:X' --> Y, такими что g\circ p_1=g\circ p_2, где p_i:X'\times_X X' --> X' есть две проекции. Ещё более конкретно это значит, что непрерывные отображения X-->Y в биекции с непрерывными отображениями X'-->Y, постоянными на слоях X'-->X. Но это ровно условие на то, что X'--> X является отображением топологической факторизации (U\subset X открыто <=> прообраз открыт). И это оказывается автоматически выполнено в нашем контексте!

Теорема 1'': Любое непрерывное сюрьективное отображение f:X --> Y является топологической факторизацией при условии, что X квази-компактно , а Y хаусдорфово.

Доказательство: Пусть U\subset Y множество, такое что f^{-1}(U) открыто в X. Мы хотим показать, что тогда U открыто в Y. Так как X квази-компактно, то мы видим, что Z:=X -- f^{-1}(U) обязано быть квази-компактным как замкнутое в квази-компакте. Тогда Y -- U= f(Z) тоже квази-компактно как образ квази-компакта, из хаусдорфовости Y мы видим, что Y -- U обязано быть замкнутым. Значит U -- открыто.

Теперь заметим, что проконечные множества (с проконечной топологией) -- это ровно квази-компактные, хаусдорфовые, вполне несвязные топологические пространства. Следовательно, Теорема 1' доказана.




Вторая вещь, которую я хотел обсудить -- это зануление когомологий на аффинноидных перфектоидах.

Теорема 2: Пусть X=Spa(A, A^+) аффинноидный перфектоид, тогда H^i(X, \O_X)=0 для любого i>0. (На самом деле теорему можно усилить и показать, что зануляются на самом деле и этальные когомологии \O_X, но это уже сложнее увидеть в классическом мире)

Как мы уже выяснили, аналогом перфектоидных пространств служат проконечные множества. Я докажу ``аналог'' этого утверждения для проконечных множеств. На этот раз аналогия будет не совсем точной, но достаточной, чтобы убедиться в том, что эта теорема может быть верной.

Теорема 2': Пусть X -- проконечное множество, тогда H^i(X, Z)=0 для любого i>0.

Нужно сказать, что я беру реально когомологии X в смысле когомологий пучков. Проконечные множества (практически) никогда не являются CW комплексами, поэтому сингулярные когомологии дают неправильный ответ на таких пространствах.

На самом деле можно показать, что когомологии любого пучка на X зануляются в размерности в положительных степенях (https://stacks.math.columbia.edu/tag/0A3G). Но я дам доказательство, которое ближе к доказательству, которое реально работает в контексте перфектоидов.

Док-во: Любое проконечное множество можно записать как фильтрованный предел конечных, поэтому мы можем написать X=lim X_i, где каждое X_i является конечным множеством. Теперь воспользуемся https://stacks.math.columbia.edu/tag/0A37, чтобы заключить H^p(X, Z)=colim H^p(X_i, Z). Но каждое X_i -- конечное множество! Поэтому H^p(X_i, Z)=0 для p>0, поэтому H^p(X, Z)=0 для p>0!