Спасибо, я посмотрю попозже. Тут в чём проблема: уже три человека предлагают мне решение с делением на 3. Ещё один предлагает посмотреть, а что будет, если 20, 21, 25. У меня такое ощущение, что это натасканные ответы и подходы. Видимо, в математической школе так научили: показали как решать задачки такого типа, и вот все решают. Иначе откуда вдруг 3? Почему не 23 или 123? Откуда это знать человеку, который не натаскан? Неоткуда. Такой человек рассуждает по-своему.

Из истории он знает, что у вавилонян были таблицы с недробными значениями х и y. Они им нужны были для строительства, т.к. описывали прямоугольные треугольники -- основной элемент строительства, крыши там всякие, стены. A вырезать или лепить недробную длину, естественно, проще, да и надежней - меньше шансов, что крыша будет кривой. Возникает вопрос: было ли в этих вавилонских таблицах число 2010? Тут нужно рассуждать, как вавилонянин, которому нужно нарезать эти треугольники. Что делает вавилонянин?
Наверное, он берёт и рисует на песке сетку в клеточку размером в одну вавилонсую меру. Дальше он чертит круг с радиусом, равным гипотенузе нужного ему треугольника, т.е. корень квадратный из 2010 (таблицы квадратных корней у него имеются, это нам тоже известно из истории). Круг даёт ему великое множество треугольников, и он смотрит, какие из них имеют не дробные х и y, т.е. такие, чьи катеты идут ровно по линеечке. Примерно так:

И никаких тебе делений на 3. И никаких вопросов "а не нужен ли тебе треугольник с гипотенузой 20, 21 и 25?". Это решение я и пыталась думать. Очень бы хотелось понять, почему это глупость?

Конечно, конкретного ответа я дать не могу. Но мне, как не математику он, честно говоря, и не очень интересен. Мне интересней продумывать то, что продумываю я.

насчёт натасканности : да, считается, что ребёнок в школе получил некие умения, которых у него до этого не было. И рассуждать он тоже должен не так, как человек, который ничего этого не знает. Всё же математика ушла вперёд со времён вавилонян.

То, что предлагаете Вы - никак не является доказательством. Представьте, что там не 2010, а 20000010. Тогда треугольник не нарисовать. А можно задаться вопросом - а какие целые n представляются в виде суммы двух квадратов? Это вавилонскими методами не решить никак.

Я не поняла, что там нужно что-то доказать. Там ведь написано "можно ли представить". Я и отвечаю: если вершина треугольника будет в точке пересечения клеточек и эта точка будет лежать на окружности - то можно представить. Как это решение отличается от компьютерной таблицы, которую засчитали? Написать программку, которая пройдётся по окружности и поищет точки совпадения, ненамного сложнее.

ну, это стандартно понимается так : надо доказать, что есть пример(например, предъявить его), или доказать, что примеров нет.
Иначе это вопрос не по математике.

Спорно - о математике ли ЕГЭ по математике или нет, но это уже о другом.