>2010/3R0 => (x^2 + y^2)/3R0 => x/3R0 и у/3R0

По-моему, тут еще все-таки есть над чем подумать.
Почему, если сумма (x^2 + y^2) делится на 3, то
x делится и y делится? В общем случае это неверно:
например, 1 + 2 делится на 3, а 1 не делится и
2 не делится.

Тут так можно думать: а пусть они не делятся.
Значит, дают ненулевой остаток. Хорошо, а что
это может быть за остаток?

>Например, почему все так упирают на "поделим на три".

Ну, просто никому неохота возиться именно с числом
2010. (21 еще туда-сюда, оно маленькое.) Хочется
отнести его по какому-нибудь простому признаку к
совокупности чисел, для которых, в силу этого
признака, легко понять, представляются они суммой
двух квадратов или нет.

А целые числа часто разбиваются на совокупности по
признаку делимости на какое-нибудь число (или если дают
один и тот же остаток). На 1 все делятся, 2 не
годится (хотя можно и тут посмотреть, что будет),
а 3 подходит.

Потом, дети, которые думали о числах, обычно знают,
что x^2 умеет только один остаток давать при
делении на 3 (или уж делиться сразу на 9). И это
им тогда сразу приходит в голову. Я знала в детстве,
хотя никогда не интересовалась математикой: просто
это забавно и приятно.

>А теперь я уже нескоро забуду, что определение не должно
>быть рекурсивным.

Не совсем так. Я, наверное, неудачно выразилась.
Бывают ситуации, когда определение вполне может
быть рекурсивным.

Ну, это как с определением русской национальности,
к которому К. Ю. Крылов, дорогой, всегда питал
сильные чувства: "Русский -- это тот, кого все
другие русские признают русским." Определение
хорошее и годное, точнее, оно будет годным в том
случае, если в нем будет к тому же указан хотя
бы один русский, признающий себя русским.

То есть, хорошее рекурсивное определение состоит
из двух частей:

(1) Крылов -- русский;
(2) русский -- это тот, кого все другие русские
признают русским.

Так определенное, множество русских вполне может
состоять из одного элемента, но это ничему не
противоречит: главное, что Крылов действительно
признает себя русским.

Прошу прощения, давно не спала и перепутала:
Крылов К. А., а не К. Ю. К тому же, забыла
проставить квадраты, правильно так:

*************************
Почему, если сумма (x^2 + y^2) делится на 3, то
x^2 делится и y^2 делится? В общем случае это неверно:
например, 1 + 2 делится на 3, а 1 не делится и
2 не делится.

Я пока не прочла, что ты написала. За ужином вдруг поняла, что была ошибка. И, кажется -- кажется -- в связи с ней поняла, почему 20 и 25 раскладываются.

Там, где сумма двух квадратов даёт в остатке 0, я дала вариант 0+0 для остатков слагаемых квадратов, и упустила вариант 1+2. Но остатка 2 у квадрата быть не может (может быть только 0 и 1). Тогда 20R2 расклаывается, т.к. его квадраты могут дать 1 и 1, а 25R1 -- 1 и 0.

А может, это всё и не так, иначе зачем такая сложная формула - 4k+3, что ли, не помню.

Сейчас почитаю, что ты написала -- и закончим на этом. Знания бесконечны, а я конечна. Спасибо, Юля.

Конечно, закончим. Только верни дневник.

Ошибка отлично подмечена!

Только вот насчет формулы: 4k + 3 -- это ведь число, которое
удобно делить на 4. Если бы было 4k -- разделилось бы
нацело. Получилось бы k. А 4k + 3 дает 3 в остатке.
А на 3 оно может давать любой остаток как раз.

Ну как: если k = 0, то 4k + 3 = 3 -- делится на 3.
Если k = 1, то 4k + 3 = 7, остаток 1.
Если k = 2, то 4k + 3 = 11, остаток 2.
И так далее.

Числа, которые делятся на 3, можно представить в виде
3k, где k -- целое, зато.