[Recent Entries][Archive][Friends][User Info]
| January 13th, 2013 | |
|---|---|
| 03:05 pm [Link] |     Когда-то давно мне попалась в руки книга Виленкина, «Специальные функции и теория представлений групп». Сразу стало ясно, что специальные функции, изложенные в духе Уиттекера–Ватсона, — это что-то совсем не то. Ну, это-то и ожидалось. Не ожидалось то, что спецфункции — это содержательная тема. Спецфункции похожи на более знакомую с детства математику хотя бы тем, что по ним есть разложения в ряды а-ля ряды Фурье. Собственно, иногда говорят, например, о «рядах Фурье–Бесселя», и слово «Фурье» здесь намекает не на тригонометрию, а на ортогональность. Разложения в ряд Фурье — это тема гармонического анализа. В центре изложения — локально компактная абелева группа, мера на ней и ещё некоторые дополнительные структуры. Виленкин пытался рассказать, как свойства специальных функций получаются из представлений всяких разных групп. Каждое семейство спецфункций оказалось связано со своей группой. Больше я из этой книги ничего не понял. Никакой разумной попытки определять спецфункции таким образом Виленкин не делает. На эту тему есть ещё монографии (например, Helgason или Wawrzynczyk), и их я понял ещё меньше. Синус и косинус связаны с группой вращений (евклидовой) плоскости. Что такое аргументы синуса и косинуса? Элементы поля, над которым рассматривается эта плоскость? Элементы абелевой группы вращений? Где она принимает значения? Ну, тут уж, по-видимому, в поле, но чёрт его знает. Спецфункции ассоциируются с группой (как написано в предисловиях глав) или с конкретным её представлением (что как будто вытекает из основного текста)? Понятно, что структура конкретной группы должна, наверное, накладывать определённые ограничения на её представления, но всё же. Симметричность дифференциальных уравнений относительно той или иной группы ведёт к разложениям решений в ряды именно по спецфункциям, связанным с этой группой. Почему именно дифференциальных? Зачем рассматривать представления именно в гильбертовом пространстве? Наверное, этот последний вопрос проистекает из того, что я даже не знаю, как выглядит оглавление курса «представления групп». Вопросов в итоге скопилась масса, и мне кажется, это очень важно. Я специально никого никогда не спрашивал о том, какой же всё-таки смысл, и пытался понять сам. Так и не получилось. Впрочем, я не то чтобы особо сильно пытался понять. Тех же Уиттекера–Ватсона я читал, когда у меня было гораздо больше времени на это всё. |