Поговорим о вере. Вере в гипотезу Ходжа.
Фархад Бабаи и Джун Ху
построили контрпример к сильной гипотезе Ходжа,
предложенной Демайи. Напомню, что обычная гипотеза Ходжа утверждает,
что по крайней мере для гладких проективных многообразий всякий класс
когомологий в H^{p,p}(X, Q) = Im(H^2p(X,Q) \to H^{p,p}(X, R) есть
линейная комбинация с рациональными коэффициентами классов когомологий
комплексных аналитических подмногообразий X. Демайи показал, что это
утверждение эквивалентно тому, что произвольный замкнутый вещественный
(p,p)-поток есть предел (в слабой топологии потоков) вещественных
линейных комбинаций потоков интегрирования вдоль p-мерных комплексных
аналитических многообразий. Бабаи и Ху опровергнули "положительную"
часть последнего утверждения, построив замкнутый сильно положительный поток,
который не приближается линейными комбинациями с положителными
коэффициентами потоков интегрирования вдоль подмногообразий.
Построение использует тропическую геометрию (!), и стратегия чем-то похожа
на батыревское использование торических многообразий для получения зеркальных
пар многообразий калаби-яу. Отображение тропикализации это отображение
(C^*)^n \to R^n, (x_1, ..., x_n) \to (-log |x_1|, ..., -log |x_n|). Согласно
канону база логарифма устремляетс к нулю. Известно (Bergman), что образ
алгебраического подмногообразия тора (C^*)^n (амёба) при этом становится
объединением многогранников. На многогранниках есть своя особая комбинаторная
теория дифференциальных форм и потоков, такая, что определён "пуллбэк"
"тропического потока" с многогранника в R^n на подмногообразие в (C^*)^n, при
это получается настоящий поток. Так вот, пример Бабаи и Ху это такой пуллбэк,
продолженный на замыкание подмногообразия в компактификации алгебраического тора,
которая является "подходящей" для данного тропического многогранника.