Kom iedereen tegen

теория ходжа cont.
к предыдущему: писал в чат, решил сохранить for future reference

для начала, что такое пространство Берковича. вообще говоря, есть
теория аналитических пространств, параллельная комплексным аналитическим
пространствам: всё склеивается из замкнутых аналитических подмногообразий
полидисков. однако существенно проще описать, что такое аналитификация
Берковича какого-нибудь алгебраического многообразия над полем с
неархимедовым абсолютным значением (=происходящим из нормирования v по
формуле |a|=e^-v(a) ).

зафикисируем такое поле К (например, K=Q_p, или K=C((t)) ), и пусть R
кольцо целых в нём (=единичный замкнутый шар). Если Х приведённая
схема конечного типа над K, то можно рассмотреть множество пар (x,| |),
где x схемная точка X, а ||: K(x) \to R норма на поле
вычетов x, совпадающая на K с его нормой. Это множество обозначают
X^an, на нём есть слабейшая топология, которая делает функции (x,| |)
\mapsto |f(x)| непрерывными, для всех функций f регулярных на
каком-нибудь открытом по Зарисскому подмножестве X. Это и есть
аналитификация Берковича X. На самом деле это ещё и окольцованное
пространство, сечения над открытым множеством будет кольцо
аналитических функций на нём. В X^an есть как "классические" точки
(те, где точка x в паре (x,| |) замкнутая), так и куча
"неклассических" (задаваемых нормированиями на поле вычетов общих
точек подмногообразий X). Зато у такого пространства хорошие свойства:
если X отделимо, то X^an хаусдорфово, если X связно, то X^an связно.

как эта штука выглядит в простейших случаях. Если взять локальное
кольцо в точке \xi \in X^an, то на его поле вычетов будет
нормирование, обычно рассматривают его пополнение, называется
H(\xi). это тоже неархимедово поле, у него есть кольцо нормирования
(=единичный шар), назовём его H'(\xi) (обычно пишут H^\circ, но мне
громоздко). Альтернативное определение: если \xi=(x,| |), то H(\xi)
это пополнение K(x) по | |. Если взять (A^1)^an, то в зависимости от
H(\xi) есть 4 типа точек

- H(\xi) пополнение алгебраического расширения K --- тип I. это
классические точки
- H(\xi) расширение K с полем вычетов степени
трасцендентности 1 над полем вычетов K --- тип II

- пусть |H(\xi)| подгруппа мультипликативной группы R^\times_+
состоящая из значений, которые принимает норма на H(\xi). точка типа
III это такая, что |H(\xi)|\otimes Q строго больше |K| \otimes Q
(рациональный ранг группы значений нормирования больше нуля)

- тип IV: у H(\xi) и поле вычетов алгебраично над полем вычетов K, и
рациональный ранг группы значений нормирования такой же, как и у K,
но точка не типа 1. это означает, что точка лежит в пересечении
бесконечного числа вложенных шаров, но неклассическая при этом.

пример точки типа II в (A^1)^an: нужно задать норму на K(x), определим
её на K[x] как |\sum_{i=0}^m a_i x^i| = max |a_i| и продлим
мультипликативно

это так назваемая Гауссова точка, это единственная точка шара |x| \leq
1, которая не содержится в подшаре меньшего радиуса, то есть
принадлежит его границе.

(P^1)^an над C((t)) это такое дерево, точки типа II это точки
ветвления, точки типа I и IV это листья, точки типа III всё
остальное. поле вычетов H(\xi) в точке типа II это поле функций
проективной кривой, замкнутые точки которой находятся в однозначном
соответствии с ветвями, которые из \xi исходят. если выбрать
координату x на A^1 \subset P^1, то для любой точки \xi \in (A^1)^an
существует минимальный шар, границей которого она является.

упражнение: какие значения принимает |x(\xi)| для точек типа II на
отрезке, соединяющем 0 и Гауссову точку?

( существует два комплиментарных способа понимать пространства Берковича.. )

Current Mood: contemplative