меня зовут константин димитракис
завёл хорошую привычку --- ходить в пешие прогулки на час-полтора.
вчера ходил на плато у Орсэ, крутая дорога вверх, по пути купил фиги
меджуль.

сосед по офису пропадал-пропадал, а потом пришёл сегодня, и сказал,
что неделю болел ветрянкой. я тоже болел во взрослом возрасте,
но карантин был кажется больше (?)

пусть XX семейство проективных кривых, например, над C \ {0} и пусть \Omega
относительный 1-дифференциал. обозначим замену базы относительно
стандартного вложения C[t,t^{-1}] \to C((t)) как X.

Рассмотрим аналитификацию Берковича X^an. Формально она определяется
для аффинного многообразия U как множество полунормирований (то есть
разрешается иметь норму 0 на ненулевых функциях) на k[U], продлжающих
нормирование на k; в общем случае аналитификация склеивается из
аналитификаций аффинных карт. Топология на этом ставится слабейшая
такая, что функции v \mapsto |f|_v непрерывны, где v пробегает
полунормы. У этой топологии есть база, состоящая из множеств, заданных
неравенствами, и можно определить структурный пучок. У точки v \in
X^an таким образом есть локальное кольцо и поле вычетов H(v),у
которого есть естественным образом возникающее кольцо нормирования, состоящее
ростков функций таких, что |f|_v <= 1. поэтому у H(v) у самого есть
поле вычетов H'(v), расширение C.

В пространстве X^an помимо "стандартных" точек X над C((t)) есть много других
(например тех, у которых H'(v) имеет степень трансцендентности 1,
такие точки называются "типа 2"). Аналитификация Берковича замкнутого
шара радиуса r (подмножества аффинной прямой, заданного |x| <= r)
представляет из себя дерево, состоящее из аналитификаций открытых
подшаров того же радиуса и граничной точки \xi, которая является
границей всех этих открытых шаров. У аналитификации открытого кольца,
соответственно, две граничные точки, которые соединяет единственный
путь, изоморфный отрезку, его внутренность называется скелетом
кольца. Вообще же, если стоять в вершине дерева, то поле H'(v) будет
C(x), а исходящие ветви находятся в однозначном соответствии с точками
P^1, которой это C(x) и является полем функций (в общем случае поля
H'(v) и кривые могут быть какие угодно).

Вернёмся к X. Существует конечное множество точек \Sigma таких, что
дополнение до них распадается в несвязное объединение конечного числа
открытых колец (пространств, изоморфных области заданной неравенствами
r < |x| < s на аффиной прямой над C((t))), и бесконечного числа
открытых шаров. Это поволяет определить скелет \Sigma: объединие
\Sigma со скелетами конечного числа открытых колец в дополонении \Sigma.

Рассмотрим XX как семейство кэлеровых многообразий с метрикой |Omega
\wedge \bar\Omega, тогда на XX_s для каждого s есть геодезическая
метрика. Предположим, что диаметр XX_s растёт как C log |s| |s|^l при
s \to 0 и будем интересоваться пределом Громова-Хаусдорфа кривых XX_s
с метрикой отнормированной так, чтобы диаметр был 1.

Оказывается этот предел Громова-Хаусдорфа можно описать в терминах
пространства Берковича X^an.

Тёмкин определил такую функцию на X^an: в точке v рассмотрим модуль
относительных дифференциалов H(v)/C тогда пусть wt_\omega(v) = \inf
|f| |x| по всем способам представить \Omega как f dx в
\Omega_{H(v)/C}. На единичном шаре, как можно показать, функция wt для
формы dx будет давать для каждой точки минимальный радиус шара,
содержащего эту точку ("радиус").

Также на шаре можно определить метрику: расстоянием между границами
вложенных один в другого шаров взять разницу радиусов, и продолжить на все пары
точек, используя тот факт, что для любых двух шаров есть единственный
шар минимального радиуса их содержащий, расстояние взять суммой
расстояний до границы этого шара. Так как произвольная кривая состоит
из шаров и колец, можно склеить метрику на X^an из метрик на шарах и
кольцах так, чтобы она была внутренней.

Обозначим максимум wt на X через wt(X) (это следует из результатов
Тёмкина). Определим такое отношение эквивалентности на Sk(\Sigma):
x ~ y если существует путь из x в y такой, что множество точек z на
нём с wt_\Omega(z)=wt_\Omega(X) дискретно или пусто. На факторе
Sk(\Sigma)/~ определим метрику: ограничение ~ на геодезическую даёт
конечное число классов эквивалентности, являющихся интервалами, будем их
считать длины 0.

Отнормируем эту метрику, чтобы диаметр был 1. Так вот, теорема:
полученное пространство изометрично пределу Громова-Хаусдорфа XX_s при s \to 0.

update: хаха, ошибка с метрикой. в такой формулировке только гомеоморфно.
но в принципе правильную матрику на факторе определить несложно, надо просто
домножать её на ребре на коэффициент |c| такой, что форма \Omega имеет вид
ct^a(1+u) dx/x, где c комплексное число и |u| < 1, на кольце, скелетом которого
это ребро является (x --- координата кольца)