Настроение:

calm

аффинные структуры
а вот ещё такая мысль.

есть такая стародавняя вещь, гипотезы концевича-сойбельмана про
SYZ-расслоение. суть в следующем: когда-то физики придумали, что
зеркальная симметрия должна геометрически объясняться, грубо говоря,
тем, что у зеркальных партнёров есть расслоения над многообразием
половинной размерности с общим слоем тор, и переход к зеркалу это
замена этого расслоения над плотным множеством базы на двойственное
плюс некая магия по его компактификации (у этого есть более научное
объясенение где фигурируют модули унитарных локальных систем, откуда
связь с гомологической зеркальнной симметрией и категорией
фукая). потом оказалось, что расслоение надо искать не у идвидуальных
многообразий, а у вырождений, то есть у семейств над проколотым диском
где-то на границе пространства модулей Калаби-Яу.

но это лирика. Концевич и Сойбельман описали такие две картинки: с
одной стороны мы из вырождения делаем многообразие X над полем ростков
функций мероморфных в нуле проколотого диска, тогда можно определить
"неархимедово SYZ расслоение". вырождение должно быть особенным:
оператор монодромии должен содержать жорданову клетку максимально
возможного по теореме Делиня размера, n+1, где n размерность
X. неархимедово SYZ расслоение это расслоение на неархимедовы торы
(такой тор это полуалгебраическое множество, заданное равенствами
|x_1|=1, ..., |x_n|=1 в K^\times, где K неархимедово поле). В случае
вырождений Калаби-Яу база этого расслоения это подмножество
пространства Берковича X^an, которое задаётся тем, что на нём
достигает минимума некая "функция веса". кстати, оказывается, что этот
минимум вычисляет лог-канонический порог дивизора соответствующей
модели X, как показали Никэз и Сю. Множество это известнно под именем
'essential skeleton', намёк на то, что у пространств Берковича столько
скелетов, сколько моделей с snc центральным слоем, а этот вот
канонический.


Кстати, опять же благодаря товарищам Никэзу и Сю (а точнее де
Фернексу, Коллару и Сю, на чьей более ранней статье их работа
основана) мы знаем, что X таки допускает ретракцию на этот essential
skeleton. Более того, Никэз и Сю говорят, что для некоторого класса
моделей, которые не snc, но почти snc --- называеются divisorial log
terminal, dlt --- двойственный комлплекс пересечений всё равно в
пространство Берковича естественно вкладывается, и так вот этот самый
"essential skeleton" (обозначается Sk(X)) топологически совпадает со
скелетом любой _минимальной_ dlt. Моделей dlt, даже минимальных,
много, канонического выбора нет, каждая модель задаёт 1) полиэдральное
разбиение Sk(X) 2) структуру расслоения на неархимедовы
торы над Sk(X) в коразмерности 1. то есть есть множество коразмерности 2, над
дополнением которого есть расслоение на торы. Расслоение на торы
понятным образом задаёт на Sk(X) аффинную структуру.

вот. а ещё есть другая картинка. у вырождения есть поляризация,
возьмём и выберем в её первом классе Черна Риччи-плоскую метрику,
пользуясь теоремой Калаби-Яу. можно показать, что диаметр будет расти
как логарифм в степени размерность X. отнормализуем метрику, чтоб
диаметр был 1 и возьмём предел Громова-Хаусдорфа. произойдёт коллапс:
у предела вещественная размерность упадёт в два раза. Концевич и
Сойбельман утверждают, что у предела есть плотное подмножество с
аффиной структурой и римановой метрикой, удовлетворяющей в этой
аффинной структуре вещественному уравнению Монжа-Ампера. Более того,
это аффинное многообразие должно быть изморфно Sk(X).

тут есть одна тонкость: непонятно, как выбрать аффинную структуру на
Sk(X) обладая только алгебраическими данными. из вышеприведённой
гипотезы следует, что она зависит от поляризации, но как?


есть такая мысль. можно рассмотреть на X^an "кэлерову форму" \omega,
которая будет в некотором смысле (у меня есть определение) пределом
кэлеровых форм Риччи-плоских метрик на слоях вырождения. эта форма
\omega будет формой в смысле Шамбер-Луара-Дюкро (см. предыдущий
пост). можно показать, что предел Громова-Хаусдорфа как у
Концевича-Сойбельмана будет определяться этой формой, а именно это
будет её носитель с метрической структурой заданной как описано в
предыдущем посте.

Теперь пусть p: X \to Sk(X) какое-то расслоение с общим слоем тор
(например, заданное минимальной dlt моделью). скажем, что форма \omega
является пуллбэком под p если все локальные координаты, которые
использованы для её определения, обладают тем свойством, что |x_1|,
..., |x_n| постоянны вдоль слоёв p. если мы предположим, что
\omega удовлетворяет неархимедову уравнению Монжа-Ампера \omega^n =
\mu, где \mu евклидова мера с носителем Sk(X), то автоматически из
локальной ddc-леммы (d'd''-леммы) и определений дифференциалов d',d''
следует, что в аффиных координатах, заданных p, \omega удовлетворяет
вещественному уравнению Монжа-Ампера. Посылка судя по всему весьма
нетривиальна, фактически, она утверждает, что предел решений
комплексных уравнений Монжа-Ампера это решения неархимедова
Монжа-Ампера. Да, при всём при этом \omega \in c_1(L), где L та самая
наша поляризация.

получается, что для того, чтобы найти аффиную структуру на Sk(X), надо
найти расслоение p: X \to \Sk(X) с общим слоем тор такое, что c_1(L)
является пуллбэком под p, где c_1(L) класс черна L в (неархимедовых)
когомологиях Дольбо пространства X. Это условие можно попытаться
сформулировать например в терминах dlt модели, которая даёт p. А потом
искать эту dlt модель методами бирациональной геометрии, из которой
эта наука на самом деле и состоит почти полностью.