Настроение:

mellow

зачем нужны адические пространства
банальное

предположим у вас есть конечный симплициальный комплекс в пространстве
берковича каком-то, для каждой точки комплекса определён какой-нибудь
объект, и хочется доказать какое-то глобальное свойство для семейства
объектов, параметризованных точками этого комплекса.

в теории схем в таких случаях доказывают это свойство для любой точки
схемы (не только для замкнутых), и применяют квазикомпактность. для
ситуации выше это не работает, в пространстве берковича нет "общих
точек" в нужном смысле. а в адических есть. можно про них думать как
про точки, которые "инфинитезимально близко лежат" к точкам из
берковича.

у грушовского-лозера в знаменитой книжке это соображение применяется
всю дорогу и составляет собственно успех их доказательства. правда там
вещи не называются своими именами, про адические пространства они не
упоминают, упоминают типы. произвольный определимый тип в теории ACVF,
не обязательно stably dominated, это что-то типа адических точек, а
stably dominated это что-то типа точек берковича (а если правильно
выбрать множество базовых параметров, то это буквально
так). вышеописанный процесс тогда становится банальным применением
теоремы о компактности (логической).

интересно, формализовано ли это самое соображение на языке хардкорной
адической коммутативной алгебры? по идее оно должно присутствовать в
гораздо более общем контексте, не над полями, и не только для
нормирований (valuations), но и для (полу-)норм (absolute
values). не специалист, поэтому не знаю, что известно, что
нет.