Да, в свое время эта заметка Тернстона, произвела на меня определенное
впечатление, а на днях я узнал, что он игнорирет современные тенденции
реферирования и публикаций. Там про то мне запомнилось, как он изменил стратегию - перестал доделывать до конца, чтобы дать другим "поработать".
И про то, что же такое производная. Довольно забавно. Он покруче этих
высокомерных физиков будет.

"Он покруче этих высокомерных физиков будет."

Кого вы имеете в виду? Кого-то конкретного, или всех физиков вообще?

Да ладно, я шучу. Насколько я помню, это статья в Бюллетене, отстаивающая математическую
культуру как таковую, вне зависимости от приложений. Есть такой детский феномен - "то, чем
занимаемся мы (именно мы, это любопытно) это и есть самое важное". Впрочем, сейчас посмотрю:
Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 30 (1994), no. 2, 161--177. Это она и есть. И дейсвтительно,
он перестал давать стране угля, мелкого, но много, как говорится.

"Круче" ли он физиков, я не знаю, но его позиция, изложенная в конце статьи (не буду публиковать, зачем вам мои доказательства), видимо, нанесла серьезный ущерб предмету и даже поломала некоторые карьеры. В первой половине 90-х многие на его жаловались. Теперь уже и жаловаться стало неактуально.

Я с этой областью математики совершенно незнаком, но как-то странно это. Концевич вот тоже иногда не записывает доказательства своих результатов, за него это потом делают другие. Но в случае Концевича, никакого отрицательного эффекта на алгебраическую геометрию я не вижу.

Вы берете очень широкую область математики - алгебраическую геометрию. Ей трудно повредить. Если же захотеть узнать, что делает Концевич, то это едва ли приведет к успеху (short of gоing to IHES). Не так уж много идей Концевича вошло в математический оборот. Так что вопрос можо поставить и иначе: в чем положительное влияние К на алгебраическую геометрию? С другой стороны, Концевич работает во Франции, где гораздо больше, чем в любой другой стране, ценят деятельность по приведению чужих идей в порядок. Собственно, и идеи Т большей частью были реализованы во Франции.

Т создал практически новую область математики - геометрическую теорию трехмерnых многообразий - и бросил ее. Не опубликовал доказательств, не поддерживал учеников. Люди теряли работу, потому что им говорили: "А что тут нового? Это же Т доказал." Доказал-то может и доказал, но рассказал только паре знакомых. В начале 90-х один такой потерявший работу распродавал свою математическую библиотеку через своего знакомого. Судя по всему, хорошую библиотеку, не только по узкой специальности. Мне пара книжек досталась, по паре долларов за штуку.

Сейчас эта область, видимо, возвращается к пре-Т состоянию - второстепенный раздел топологии, плюс теория клейновых групп. Последнее со времен Пуанкаре - респектабельный раздел анализа, влияние Т привело к его заметной геометризации, ну и все.

В целом, претензия на результат вместе с демонстративным нежелание знакомить публику с доказательством таки имеет отчетливый оттенок высокомерия. Не хочешь публиковать доказательства - не публикуй, но тогда это не твоя теорема, а твоя гипотеза. В старое время Том не претендовал на не опубликованные им результаты. Он их формулировал, иногда давал наброски, и говорил, что не возражает, если это кто-нибудь докажет, и будет считать это своей теоремой. Времена переменились очень сильно.

Понятно. Претендовать на доказательство, не предъявив его общественности, конечно, нехорошо. А не поддерживать людей (учеников?), которые пытаются дать такие доказательства, - это вообще за гранью.

Кстати, а клейновые группы - это что? И почему топология 3-мерных многообразий - второстепенный раздел? Я тут начал думать про 3-мерную топологическую теорию поля, и в связи с этим хотел бы разобраться, как комбинаторно описывают 3-мерные многообразия. (В двумерии, как известно,все очень просто описывается в терминах "склейки штанов".) Вы можете порекоммендовать какой-нибудь обзор?

Клейновы группы - это дискретные подгруппы PSL(2,C), рассматриваемые вместе с действием на комплексной плоскости дробно-линейными преобразованиями. Эквивалентно - дискретные группы движений трехмерного гиперболического простраства (простраства Лобачевского). Придумал Пуанкаре. В 60-е Альфорс и Берс возродили эту науку, применив к ней квазиконформные отображения. Затем Терстон.

До Терстона трехмерная топология была действительно второстепенным разделом топологии, с очень специальными методами, которые мало кто знал (насколько я понимаю, даже среди топологов). После Терстона эта наука оказалась связанной с комплексным анализом, модулями римановых поверхостей, теорией групп и т.д. Статус поменялся. Чему способствовала иллюзия, что в многомерной топологии все задачи решены. Но, фактически, задачи трехмерной топологии сами по себе остаются очень специальными и без последствий в других разделах математики. Даже гипотеза Пуанкаре. Поэтому и второстепенная.

Это "геометрическая трехмерная топология". Еще есть "физически-комбинаторная", идущая от той работы Виттена. Это совсем другой предмет, почти не взаимодействующий с первым. О нем я не говорю.

Обзор порекомендовать не могу - н знаю ничего подходящего. Способов комбинаторно описывать трехмерные многообразия несколько, и все они были включены в эту физически-комбинаторую теорию. Я думаю, искать такие описания надо на ключевое слово "инварианты Виттена-Решетихина-Тураева" или на сами эти описания. Тураев написал толстую книгу на эту тему. Еще, кажется, это есть в книге Lickorish'а по теории узлов.

Основные описания: триангуляции, Kirby calculus, Heegaard diagram. Ничего, сравнимого по простоте со штанами, нет. (Ну, штаны тоже не очень просты; ср. упомянутую работу Мура-Зайберга.)

Спасибо за ссылки. Очень интересно, надо будет прочесть внимательно.

Спасибо! Статьи Джаффе-Квинна и Терстона я уже видел, а вот остальные - нет. Еще раз перечитал Джаффе-Квинна: до чего зашоренные люди! Взгляд на математику с точки зрения андроида.

Вы бы не могли пояснить ваше мнение о статье Куинна-Джаффе? Очень неожиданная формулировка.

Мне эта статья всегда казалась не очень добросовестной и поспешной попыткой "возглавить революцию", не разобравшись даже, если какая-нибудь революция.

1. Они считают, что все работы можно разделить на "строгие" и "нестрогие". Ясно, что это не так: есть некий континуум степени строгости, и большинство статей весьма далеки от идеала.

2. Нет общепринятого стандарта строгости: с какого момента можно на утверждение навесить ярлык "теорема"? В разных областях математики и в разные эпохи этот стандарт сильно отличается.

3. Как справедливо замечено в одном из откликов, обычно математики стараются дать максимально убедительные доказательства, но по разнм причинам это не всегда получается. Например, если основы предмета еще не разработаны. Такая ситуация была во времена Эйлера и Гаусса в области анализа, во времена Пуанкаре в области топологии. Тем не менее, мы считаем, что эти люди были замечательнми математиками, и получали важные математические результаты, а не формулировали "гипотезы".

4. Джаффе-Квинн ругают физизков за то, что те не желают строго доказывать свои утверждения, либо по злонамеренности, либо по ленности, либо по невежеству. По-моему, они не понимают, что в некоторых областях физики проблема не в отсутствии доказательств, а в отсутствии определений. У многих теорфизиков очень хорошее математическое образование, но это не помогает, если имеешь дело с совершенно новой, неформализованой областью. Вроде "функционального интеграла".

Не соглашусь по большинству пунктов.

1. Работы можно разделить на "строгие" и "нестрогие", особенно в контексте статьи К-Дж.

Континуум имеется, но не степеней строгости, а качества изложения. Это даже не линеный континуум - есть разные направления. Одни статьи написаы ясно, детально и с четкими ссылками, их можно читать, обладая умеренным запасом предварительных сведений. Другие предполагают в качестве предварительных сведений все, кроме того, что написано в тексте. Есть очень сжатые изложения, в которых опущены все "рутинные" детали - иногда "рутинные" для Ph.D в данной области, иногда для ближайших друзей автора. Иногда автор просто не в состоянии записать детальное доказательство (и даже может признать это), но не вызывает соменений то, что оно у него есть в голове.

В контексте К-Дж "нестрогими" называются работы, для которых у автора в голове нет доказательства, и это ему самому ясно. Речь идет, конечно, в первую очередь о работах Виттена и вообще о работах, использующих интеграл Фейнмана.

2. Навесть ярлык можно, когда захочется. Например, Последняя Теорема Ферма так называлась за сотни лет до того, как стала теоремой. В каждой области математики происходит движение к большему уровню строгости, затем, адекватный уровень строгости оказывается достигнут и после этого стандарты уже не меняются (Дьедонне). Уже несколько десятков лет стандарты не меняются в математике в целом.

3. Это, конечно, верно. Но дело в том, что и неполное доказательство часто имеет большую ценность. И авторов таких доказательств мы часто считаем замечательными математиками. Эйлер понимал, что у него доказано, а что - нет, и иногда предлагал несколько разных аргументов, понимая, что доказательства у него нет. Если я правильно помню, так обстоит дело, например, со значением дзета(2).

Работы Пуанкаре по топологии, во-первых, плохо написаны. Ср. п.1. Во-вторых, Пуанкаре действительно не имел доказательств своих утверждений. Сейчас, мы, вероятно можем четко отделить то, что доказано, от того, что нет. Например, некая форма двойственности Пуанкаре доказана (но применить ее к чему-нибудь едва ли возможно), а инвариантность чисел Бетти - нет. Проблема с такой ситуацией состоит, главным образом, не в отсутствии "строгости", а в том, что не удается пользоваться такими "результатами". Реально это затормозило прогресс на 20-30 лет. Стиль Пуанкаре приводил к проблемам и для него самого - как в скандале с премией шведского короля, полученной Пунакаре за просто ошибочную работу. (Скандал вскрылся лет 10 назад, тогда его успешно замяли.)

4. А это совсем неожиданное утверждение. Как мне всегда казалось, К-Дж совсем не ругают физиков, а восхищаются ими. Для математики они предлагают роль обслуги теоретической физики = теоретической математики, вместо экспериментальной физики, которая не в состоянии верифицировать теорию струн.

В целом это все чепуха, и эти философствования не оказали никакого влияния.

1. Не знаю, как можно определить по статье, есть ли у автора доказательство в голове, если я сам этого доказательства не понимаю. Т.е. если я знаю репутацию автора, или репутацию журнала, где статья опубликована, то я могу сделать какие-то суждения, но вы, наверное, не это имели в виду? Т.е. я не умею отделить "строгость статьи" от "качества изложения".

Во-вторых, Дж-К как раз волнуются, что многие утверждения физиков не помечены как "нестрогие" и хотят исправить положение, чтобы не путать молодежь. Вот этого я понять не могу. Казалось, всем должно быть ясно, что Виттен не претендует на уровень строгости Ann. Math. или Journal of Differential Geometry. Когда физики думают, что они что-то могут строго доказать, они обычно принимают математический стиль изложения (определение, теорема, доказательство). Например, таков стиль знаменитой работы Коулмена-Мандулы. (Хотя и там есть замечательный дислеймер: "Although the proof at times attains mathematical levels of obscurity, we make no claim for the corresponding level of rigor.")

To be cont.

Мне кажется очевидным - хотя это и идет в разрез с манерами ведения ЖЖ-дискуссий - что нельзя во всем разобраться самому. Приходится кому-то доверять. Допустим, я никогда всерьез не занимался банаховыми пространствами. В такой ситуации я не в состоянии понять ни сжато написанную фудаментальную работу Цирельсона, ни детально написанные работы Энфло. Что не мешает мне доверять специалистам и полагать, что там все верно, хотя я ни в том, ни в другом случае ничего не понимаю, кроме формулировок.

Специалисты обычно в состоянии определить, есть ли у автора доказательство, особенно если он наш современник и можно задавать ему вопросы. (Моделью этой практики является знаменитая PCP-теорема из computer science.)

Но ведь у К-Дж не идет речь о тонких ситуациях - иногда действительно трудно понять, было ли у автора доказательство, и я сам могу привести такие примеры. Речь идет о бесспорных ситуациях - у Виттена не было доказательств его утверждений.

"Казалось, всем должно быть ясно, что Виттен не претендует на уровень строгости Ann. Math. или Journal of Differential Geometry."

Теперь уже, наверное, всем ясно. Но, хотя работы Виттене не публиковались в Ann. Math., они публиковались как раз в Journal of Differential Geometry. Не кажется ли вам странным утверждение, что статья в Journal of Differential Geometry не претендует на уровень строгости Journal of Differential Geometry?

Я имел в виду работу Виттена про полином Джонса, которая была опубликована в
Communications in Mathematical Physics. Ее уровень строгости вполне соответствует среднему уровню CMP. В JDG, кажется, была его работа по "теории Зайберга-Виттена"?

В общем, если статья не написана в стандартном стиле "определение-теорема-доказательство", то вроде ясно, что автор не претендует на большую строгость. Независимо от того, где статья опубликована.

"В общем, если статья не написана в стандартном стиле "определение-теорема-доказательство", то вроде ясно, что автор не претендует на большую строгость."

Ну, это совсем не так. Писать можно в любом стиле, в принципе. Просто в стиле теорема-доказателсьтво писать легче.

В Journal of Differential Geometry была опубликована, например, работа по теории Морса. Авторитет журнала был таков, что Виттену стали приписывать не только доказательство, идея которого была предложена в статье, но и констукцию комплекса для вычисления гомологий (которую еще минимум за 15 лет до этого знали все топологи). Более того, доказательство того, что этот комплекс вычисляет гомологии, стали считать открытой проблемой, в то время как доказательство содержалость в общеизвестной монографии, а в статьях разбирались гораздо более тонкие вопросы.

Работа по теории Зайбера-Виттена (одного Виттена) была опубликована во вполне математическом журнале Mathematical Reserch Letters. Тут никаких серьезных проблем не возникло, поскольку математики доказали все необходимые утверждения еще до того, как работа вышла из печати (все доказывается так же, как в теории Дональдсона, только заметно проще).

Communications in Mathematical Physics - странный журнал. Уже давно всеядый, не без влияния (опубликованных там) Виттена, я думаю. С этой работой Виттена, действительно, все было ясно. А вот с близкой по времени и теме работой Мура-Зайберга - нет. Даже Дринфельд писал, что в ней, "видимо", есть доказательство нужного ему утверждения. Его там нет, и даже формулировка неполна. Потом это доказали.

2-3. Не понимаю, почему Дж-К так беспокоятся за судьбу математиков. Атиа хорошо им ответил: "We (geometers) feel that we are perfectly capable of defending our virtue." Страхи Дж-К надуманные, а их предложения скорее контрпродуктивны. Да, почти все работы с использованием интеграла Фейнмана нестрогие. Это всем ясно. Ну и что? Когда-нибудь все это будет формализовано, и можно будет обосновать все результаты физиков. По-моему, процесс формализации какой-то новой области математического знания - обычное дело для математики. И чем революционнее новаа область - тем труднее ее формализовать (т.е. дать аккуратные определения, и т.д.). Строгое обоснование анализа заняло 200 лет, как минимум. Интегралу Фейнмана - только 60 лет.

Под контрпродуктивными предложениями я имел в виду вот что. Дж-К фактически хотят приравнять всю нестрогую математическую деятлеьность к высказыванию гипотез. И одновременно требуют от физиков более точной формулировки гипотез, в стиле, принятом у математиков. Второе просто невозможно: для этого надо иметь аккуратные определения всех объектов, а их пока нет. Формулировка правильных определений может быть длительным процессом. По-моему, сейчас мы находимся в начале этого процесса в отношении интеграла Фейнмана.

Возможно, такая странная (для меня) точка зрения Дж-К связана с тем, что сам Джаффе много лет занимался конструктивной КТП и считает, что формализация интеграла Фейнмана уже достигнута в форме аксиом Уайтмана. И что пришло время доказывать строгие теоремы. Я так не считаю, и многие уважаемые мной люди (например, Концевич и Грэм Сигал) тоже. Например, пару лет назад Сигал в Санта Барбаре рассказывал, как он пытается формализовать интеграл Фейнмана (на сайте KITP есть видеозапись его лекции, весьма интересно). Значит, он считает, что вопрос открыт.

"Не понимаю, почему Дж-К так беспокоятся за судьбу математиков."

Мне всегда казалось, что они беспокоятся о судьбе математиков, а о статусе "спекулятивых" работ, вроде работ Виттена. Видя, что традиционный физический метод (экспериментальная проверка) здесь безнадежно не работает, они предлагают другой - математическая проверка.

Аналогия математичского анализа с интегралом Феймана, как мне кажется, бесконечно натянутая. Что такое объем (т.е. интеграл), понимали еще Архимед и Евдокс. Работы 19-го века являются лишь уточнением их представлений (если отвлечься от расширения понятия итеграла на более широкие классы функций - но это не формализация, а содержательный прогресс). Теория вещественных чисел Дедекинда - это изложения теории пропорций Евдокса на современном языке.

В отличие от обычного интеграла, что такое интеграл Феймана совершенно непонятно. С точки зрения математика, это просто символ, с которым надо обращаться по несколько загадочным правилам.

Формулировка правильных определений как нерешенная проблема встречается в математике. Едва ли не главными проблемами 20-го века были проблемы нахождения определий когомологий Вейля и высших алгераических К-функторов. Так что отсутствие определений не является препятствием для формулировки гипотез в стиле, принятом у математиков.

Если аксиомы Уайтмена не являются удовлетворительным описанием того, что физики понимают под интегралом Фейнмана, то, хочется надеятся, физики могут предложить другую формулировку.

"Если аксиомы Уайтмена не являются удовлетворительным описанием того, что физики понимают под интегралом Фейнмана, то, хочется надеятся, физики могут предложить другую формулировку."

Пока не могут. Но я бы хотел попробовать, когда-нибудь :)

4. Дж-К пишут:

"Relations between physics and mathematics would be considerably easier if physicists would recognize mathematicians as "intellectual experimentalists" rather than think of them disdainfully as uselessly compulsive theorists. ... Students in physics are generally indoctrinated with antimathematical notions; and if they become involved in mathematical questions, they tend not only to be theoretical but often to deny that their work is incomplete."

Я тут не вижу восхищения. Дж-К критикуют физиков как снобов, которые не в состоянии признать важность строгого математического доказательства.

(Про "antimathematical notions" - это все неправда, по-моему. Описываемое отношение к математикам характерно для очень немногих физиков. К сожалению, среди них был и Фейнман.)

"К сожалению, среди них был и Фейнман."

Ну так весь шум и идет про интеграл Фейнмана. Я думаю, что К-Дж адеквато описывают ситуацию на какой-то момент, и в широкой среде физиков. Мне кажется, что перечитывая эту статью 14 лет спустя после того, как она написана, вы оцениваете ее с позиций сегодняшнего дня, и, что, наверое, гораздо важнее, с позиций того сообщества, которому вы сами принадлежите.

Интеграл, конечно, Фейнмана. Но это неправда, что люди, занимаюшиеся интегралом Фейнмана, так же относятся к математике, как Фейнман.

За последние 14 лет, по-моему, ничего не изменилось в отношениях физиков к математике. Я тут имею в виду не только струнщиков, но и теорфизиков вообще. 14 лет назад, кстати, я занимался вещами, очень близкими к эксперименту, так что не записывайте меня в заядлые струнщики, пожалуйста.

"За последние 14 лет, по-моему, ничего не изменилось в отношениях физиков к математике."

Кажется, что изменилось. Кажется, что теперь часть физиков занимается почти математикой. Разница только в том, что у физиков есть это загадочное средство - интеграл Фейнмана, и они злоупотребляют тезорными обозначеними (индексами), затрудняя для матеамтиков и без того нелегкий труд по попыткам их понять. Мне кажется, что мы с вами это обсуждали в несколько ином контексте.

Ну хорошо, 14 лет назад вы были близки к эксперименту. И как, в этих кругах ценились математические доказательства?

Есть история про Дирака, а не Фейнмана. Фридрикс пытался убедить его в том, что математики сделали кое-что полезное для физиков - просяили разницы между симметрическими и самосопряжеными операторами. На что Дирак ответил: "А какая между ними разница?"

14 лет назад была точно такая же ситуация. Переломный момент был в середине 80-х, когда многие теорфизики устали от игр с моделами Grand Unified Theories и обратились к теории струн или интегрируемым моделям.

Отношение к доказательствам было обычное для физиков: если доказана какая-нибудь интересная формула, показано, что какой-то алгоритм вычислений хорошо определен, или доказан какой-то неожиданный общий результат, то отношение весьма заинтересованное. (Например, физиками высоко ценится доказательство-построение процедуры перенормировки в 60-х годах, теорема Атиа-Сингера, теорема Коулмена-Мандулы, строгие результаты о структуре решений уравнений Бете в интегрируемыx системах, неравенство Белла, теорема о связи спина и статистики, CPT теорема, теорема Нама о несуществовании суперсимметрии в пространствах размерности больше 11). Если же доказано, что какой-то конкретный интеграл сходится, при том что он давно хорошо посчитан численно, или доказана теорема о существовании глобального решения уравнения Навье-Стокса, при том что в этом никто из физиков не сомневается, то отношение равнодушное.

Ваши примеры аккуратно обходят то, о чем, как мне казалось, шла речь. Например, о самосопряженных операторах.

И в особенности там, где говорите о сходимости посчитаного интеграла. Ведь главная проблема в том и состоит, чтобы определить интегралы, которые физики могут сосчитать.

Но, ваш комментарий как раз и подтверждает позицию К-Дж. Доказательства сами по себе не ценятся. То, что теорема Атийи-Сингера явилась в мир вместе с доказателсьтвом, для физиков неважно. Если бы первым аргументом было использование интеграла Фейнмана, то, судя по вашим словам, отношение физиков к этой теореме не изменилось бы.

Про разницу между симметричными и самосопряженными операторами нас учили на спецкурсе "Дополнительные главы квантовой механики", на 3-м курсе. Так что со времен Дирака кое-что изменилось.

Я имел в виду обычный интеграл, а не фейнмановский. Если кто-то докажет существование интеграла Фейнмана для перенормируемых калибровочных теорий в 4-х измерениях, то это будет тема для lunch-time conversations на всех физических департаментах. И все будут дружно ссылаться на этот результат. Другое дело, что если ничего, кроме существования, доказано не будет, то мало кто из физиков будет разбираться в доказательстве, и на практике мало что изменится. Но цитировать будут вовсю.

Честно говоря, я не знаю примеров того, чтобы сходимость обычного интеграла, который к тому же можно найти численно, была бы проблемой. Будем считать, что вы утрируете ситуацию.

As far as I understand, the Feynman integral and the procedure of renormalization are still mysterious. Axiomatic QFT explains that correct answers exist, but does not explain why these answers can be obtained by the mathematically meaningless calculation with the Feynman integral. However, it seems to me that physicists lost interest in the justification of the Feynman integral.

I suspect that Feynman integrals cannot be justified in the same sense as Riemann and Lebesgue integrals justified the ideas of Fourier - by extension the notion of integral to a wider class of functions. One may hope that various ways to attach a mathematical meaning to the Feynman integrals in some very special situations, like the Topological Quantum Field Theory, will eventually lead to some unified theory.

если какая-нибудь -> есть ли какая-нибудь