Позволю себе отписаться
1. Математика
Формально говоря высшая математика - не наука.
Математика - техника получения тождественных выражений.
а. Она не соответствует критерию Поппера.
б. Доказательства верности математики не существует.

С другой стороны ряд прикладных работ по математики, предполагающих _нахождение_математического_аппарата_ для области естественной науки - вполне научны не только с точки зрения точности и сложности предмета изучения, но и по формальным признакам.

2. Геометрия.
Исторически геометрия основана на аксиомах Эвклида.
Говорить о "базовых понятиях" точки, прямой и плоскости так, как у Вас можно лишь в курсе "планеметрии" или "геометрии Эвклида".
Сегодня геометрия определяется по другому: для N-мерного множества (чаще всего действительных) чисел определяется метрика ("расстояние" между двумя точками). Если метрика есть "сумма от квадратов разности координат" - приходим к классической (эвклидовой) геометрии.

3. Интуиционализм.
Рассмотрением _только_ моделей только для существующих в природе явлений занимается интуиционализм, в нем принимаются к рассмотрению только те объекты, существование которых интуитивно очевидно.
Собственно говоря в нем отсутствует аксиома "исключенного третьего" и, как следствие, не может быть применено доказательство от противного.

Серьезных (достаточных для инженерных рассчетов) успехов эта _неклассическая_логика_ не добилась.