Группа Брауэра и расширения полей I. Мотивация и введение
В своих предыдущих постах я довольно подробно объяснил как себя ведёт группа Пикара при расширении полей. В этом же посту я хочу дать какую-то мотивацию к изучению поведения группы Брауэра при расширении полей.

Начнём с того, что Группа Пикара имеет довольно простое когомологическое описание, а именно, Pic(X)=H^1(X,\O_X^*). Интересный вопрос -- насколько сильно нам важно явное описание через обратимые пучки или дивизоры Картье, чтобы реально изучать этот объект. Можем ли вывести большинство свойств Pic(X) просто из когомологического описания. Например, как сильно H^1(X,\O_X^*) отличается от H^i(X,\O_X^*) при i>1?

Для начала заметим, что на самом деле поставленные выше вопросы чересчур наивны. Например, плоский спуск нам гарантирует, что Pic(X)=H^1(X,\O_X^*)=H^1_{et}(X,G_m)=H^1_{fl}(X, G_m). Не очень понятно когомологии в какой из топологих естественно сравнивать с функтором Пикара. На самом деле когомологии в топологии Зариского нам совсем не годятся, как по простым целям таким, как невозможность что-либо явно посчитать в них, так и по более разумным: определение относительного функтора Пикара морфизма f:X --> S нам говорит, что Pic_{X/S}=R^1f_* G_m, но где f_* рассматривается как прямой образ в плоской(!) топологии. При разных условиях на морфизм f, можно работать и в этальной топологии, но в общем случае правильнее всего работать в плоской. Из этого следует, что при изучении функторов Пикара естественным образом мы будем иметь дело с H^i_{fl}(X, G_m), а не с H^i(X, \O_X^*). Поэтому правильный вопрос всё-таки заключается в том, чтобы понять насколько далёки свойства H^1_{fl}(X,G_m) от H^i_{fl}(X,G_m) при i>1. Плоская топология -- вещь довольно страшная, но в данном случае нас спас Гротендик следующей теоремой.

Теорема (Гротендик): Пусть G -- гладкая коммутативная квази-проективная групповая схема над X, тогда H^i_{fl}(X,G)=H^i_{'et}(X,G).

Доказательство: Cм. статью Brauer III Гротендика или Теорему 3.19 в книжке Милна по этальным когомологиям.

Замечание: В случае i=1 эту теорему можно доказать напрямую. А именно, H^1_{C}(X,G) классифицирует G-торсоры в топологии Гротендика C. Но для любой гладкой группы все плоские торсоры имеют сечение этально-локально (см. Neron Models гл.2), а значит H^1 в этальной и плоской топологии для таких групп совпадают. В дальнейшем мы будем часто пользоваться этой теоремой для i=1 и иногда для i=2 и G=G_m.

Теорема говорит, что нам всё равно изучать H^i_{et}(X, G_m) или H^i_{fl}(X, G_m), эти группы равны. Кроме этого, теорема Гротендика очень важна тем, что позволяет переключаться между топологиями. Мы знаем довольно много нетривиальных теорем из этального мира, которые можно с разным успехом использовать на практике. Но как только речь заходит о p-кручении в хар. p, мы не может сказать практически ничего в этальном мире, однако на удивление можем сказать что-то в плоском.


Давайте я теперь наконец скажу, что на самом деле группы H^i_{fl}(X,G_m) ведут себя совершенно не как Pic(X). Мы это увидим довольно скоро, но уже сейчас мы сфокусируемся на i=2, H^2_{fl}(X, G_m) называется (когомологической) группой Браэура. В этом случае мы ещё иногда имеем явное описание для H^2_{fl}(X,G_m), но ситуация уже достаточно сложная. В случае X=Spec k у группы Брауэра есть стандартное, хорошо известное описание. А именно, каждый класс в H^2_{fl}(k, G_m) представляется центральной простой алгеброй над k. И две алгебры A и B задают один класс когомологий, если существуют целые числа n и m, такие что Mat_n(A)=Mat_m(B). Это называется Морита-эквивалетностью. Стандартные результаты из теории центральных простых алгебр говорят, что Br(\R)=Z/2Z и Br(\C)=0. Таким образом, даже в случае полей ни о каком вложении Br(k) --> Br(\bar k) говорить не приходится.

Но можно задаваться другими вопросами. Во-первых, в теории центральных простых алгебр есть важный результат, который говорит, что для любого сепарабельно-замкнутого поля k выполнено равенство Br(k)=0 (Частный случай теоремы Гротендика, процитированной выше!). Интересный вопрос состоит в том, верно ли, что все классы в H^2_{fl}(X, G_m) для достаточно хорошей схемы над полем k, которые умирают после замены базы на алгебраическое замыкание \bar k (то есть в H^2_{fl}(X\otimes_k \bar k, G_m)), умирают уже в H^2_{fl}(X\otimes_k k_{sep}, G_m)? Чтобы сделать вопрос более конкретным, давайте его сформулируем следующим образом:

Вопрос 1: Пусть $X$--собственная, геометричеки целая, гладкая схема над сепарабельно-замкнутым полем k. Верно ли, что естественное отображение Br(X) --> Br(X\otimes_k \bar k) является вложением?

Второй тип вопроса, который естественно задать, -- это гомотопическая инвариантность группы Брауэра. В случае групп Пикара мы знаем, что для любой регулярной схемы X группа Пикара Pic(X\times A^1)=Pic(X). Чтобы доказать это утверждение, мы существенным образом пользуемся изоморфизмом между группой Пикара и группой классов дивизоров Вейля. Совершенно непонятно почему похожее равенство могло бы выполняться для групп Брауэра, но его хотелось бы иметь. Давайте для простоты сформулируем куда более слабый вопрос:

Вопрос 2: Верно ли, что Br(A^1_k)=Br(k)?

Ответы: Оказывается, что ответ на оба вопроса отрицательный!

В первом случае проблема состоит в том, что Pic_{X/k} может являться не приведённой схемой. Более того, мы увидим, что на самом деле это единственное препятствие к инъективности отображения Br(X) \to Br(X \otimes_k \bar k).

Во втором случае проблема будет заключаться в несовершенности поля k. Для несовершенных сепарабельно-замкнутых полей в характеристике p, p-кручение группы Брауэра Br(A^1_k) будет огромным. К сожалению, я пока не знаю является ли группа Брауэра гомотопическим инвариантом на категории гладких схем над совершенным полем.

Сами же контрпримеры я приведу в следующих постах. Контрпример к вопросу 1 уже записан. Мой вопрос заключается в том, читает ли кто-нибудь вообще эти посты? Есть ли люди, которые хотели, чтобы я не расписывал все детали, и это им мешает понимать? Или вдруг есть кто-то, кто хочет, чтобы я научился вставлять ТеХ формулы в тифаретник, и тогда бы это можно было читать? В общем, если есть какие-то ответы/предложения -- напишите. Я исхожу из того, что эту писанину никто не читает, а пишу я в основном для себя. В таком варианте улучшать читаемость формул смысла большого не имеет.