|
|
Пишет azrt (![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small} azrt)@ 2018-01-13 21:29:00 |
 |
|
 |
|
|
|
|
|
|
 |
|
 |
Группа Брауэра и расширения полей III. Вопрос 2.
В данном посте я хочу ответить на второй вопрос из моего предыдущего текста. А именно, показать, что над несовершенным полями Br(A^1_k) не равно Br(k). Для этого мне сначала необходимо напомнить несколько фактов про кэлеровы дифференциалы и оператор Картье.
Пусть X -- произвольная регулярная схема над полем k характеристики p. Тогда мы можем определить абсолютные кэлеровы дифференциалы \Omega^1_{X/F_p}, или просто \Omega^1_{X}. Отметим, что X не является, в общем случае, схемой конечного типа над F_p (потому что уже Spec k не является конечного типа над F_p, кроме случая конечного поля k), поэтому \Omega^1_X не является когерентным пучков. Тем не менее, \Omega^1_X является квази-когерентным пучков, так как конструкция кэлеровых дифференциалов коммутирует с локализациями. Пучок \Omega^1_X приходит с естественным отображением дифференциала d:\O_X --> \Omega^1_X. Обозначим за B_X пучок кограниц, то есть im(d:\O_X --> \Omega^1_X).
Определим теперь оператор Картье C:\Omega^1_X --> \Omega^1_X/B_X (строго говоря, его обычно обозначают за C^{-1}, но в нашем случае в этом нет никакого смысла) по формуле C(fdg)=f^pg^{p-1}dg. Для начала давайте проверим корректность этого определения, а именно, что С(d(f+g))=C(df+dg).
C(d(f+g))=(f+g)^{p-1}d(f+g)=f^{p-1}df+g^
Заметим, что из этого вычисления видно, что C не определён как морфизм \Omega^1_X --> \Omega^1_X, и нужно действительно брать фактор по B_X. Другими словам, наша задача сводится к доказательству того, что (f+g)^{p-1}d(f+g)-f^{p-1}df-g^{p-1}dg является кограницей. Но это действительно так в силу формулы
(f+g)^{p-1}d(f+g)-f^{p-1}df-g^{p-1}dg=d(
Таким образом, оператор Картье корректно-определённый Фробениус-линейный морфизм C:\Omega^1_X --> \Omega^1_X/B_X. Нам будет важен ровно один нетривиальный факт про оператор Картье:
Теорема Пусть X -- регулярная схема над F_p (не обязательно конечного типа!), тогда следующая последовательность этальных пучков точная:
0 --> G_m/G_m^p -dlog-> \Omega^1_X -(C-Id)-> \Omega^1_X/B_X --> 0. (*)
Давайте я объясню откуда берутся отображения в этой последовательности. Первая стрелка dlog:G_m/G_m^p --> \Omega^1_X есть морфизм, заданный по правилу dlog(x)=(dx)/x. Это выражение имеет смысл, так как элементы x обратимы, и dx^p=px^{p-1}dx=0. Вторая стрелка C-Id:\Omega^1_X --> \Omega^1_X/B_X есть разница оператора Картье и проекции. Легко видеть, что (*) является комплексом. Не очень сложно доказать, что (*) точна в первом и третьем члене, основная сложность в доказательстве точности в среднем члене.
Последнее, что необходимо сказать перед доказательством -- это тривиальность пучка \mu_p на любой приведённой схеме X над полем k характеристики p. Действительно, любая схема U, которая этальна над X, является приведённой, так как этальные морфизмы сохраняют свойство приведённости. Тогда сечение \mu_p на U есть корни p-ой степени из 1 в Г(U,\O_U^*). Но так как U есть приведённая схема над полем характеристики p, то единственный такой корень -- это единица. То есть пучок \mu_p тривиален на (малом) этальном сайте любой приведённой схемы. Из этого следует инъективность отображения [p]:G_m --> G_m в этальном сайте Х. В частности, мы имеем точную последовательность этальных пучков
0 --> G_m --> G_m --> G_m/G_m^p -->0 . (**)
Давайте теперь доказывать нетривиальность Br(A^1_k) для несовершенного сепарабельно-замкнутого поля k.
Теорема: Для любого поля характеристики p верно следующее равенство
Br(A^1_k)[p]=\Omega^1/(B+(C-id)(\Omega^1)
где Br(A^1_k)[p] обозначает p-кручение в группе Брауэра, а \Omega^1 (соотв. B) обозначает \Omega^1_{A^1_k} (соотв. B_{A^1_k}).
Доказательство: Напишем точную последовательность этальных когомологий, ассоциированную с (**),
H^1_{et}(A^1_k,G_m) -[p]-> H^1_{et}(A^1_k,G_m) --> H^1_{et}(A^1_k, G_m/G_m^p) --> H^2(A^1_k,G_m) -[p]-> H^2(A^1_k, G_m).
Теперь вспомним, что H^1_{et}(A^1_k,G_m)=Pic(A^1_k)=0, а H^2_{et}(A^1_k,G_m)=Br(A^1_k). Откуда получаем получаем изоморфизм
Br(A^1_k)[p]=H^1_{et}(G_m/G_m^p).
Но эти когомологии мы можем считать с помощью точной последовательности (*):
0 --> G_m/G_m^p -dlog-> \Omega^1 -(C-Id)-> \Omega^1/B --> 0
Взяв соответствующую длинную точную последовательность когомологий имеем
H^0_{et}(A^1_k, \Omega^1) -(C-Id)->H^0_{et}(A^1_k, \Omega^1/B) --> H^1_{et}(A^1, G_m/G_m^p) --> H^1_{et}(A^1, \Omega^1).
Общая теория этальных когомологий говорит, что этальные когомологии квазикогерентного пучка равны когомологиям этого квазикогерентного пучка в топологии Зарисского. Вспомнив также, что высшие зарисские когомологии квазикогерентных пучков зануляются на аффинных схемах, мы видим, что
H^0_{et}(A^1_k, \Omega^1)=\Omega^1, H^1_{et}(A^1, \Omega^1)=0, H^0_{et}(A^1_k, \Omega^1/B)=Г(A^1_k, \Omega^1/B)=\Omega^1/B.
Таким образом мы имеем точную последовательность:
\Omega^1 -(C-Id)--> \Omega^1/B --> H^1_{et}(A^1, G_m/G_m^p).
Таким образом, Br(A^1_k)[p]=\Omega^1/(B+(C-Id)\Omega^1)
Замечание: Ровно такой же аргумент показывает, что для любой регулярной факториальной аффинной схемы X (например, A^2_k), группа Брауэра Br(X)[p]=\Omega^1_X/(B_X+(C-Id)\Omega^1_
Теперь нам необходимо предъявить нетривиальный элемент в группе \Omega^1_{k[X]}/(B_{k[X]}+(C-Id)\Omega^1
Отметим, что формация групп Брауэра коммутирует с индуктивными пределами, а поле F_p(T)_{sep} есть прямой предел конечных сепарабельных расширений F_p(T). И для каждого такого расширения k'/F_p(T) класс XdT корректно-определён в Br(A^1_{k'})[p]. Поэтому достаточно доказать, что для каждого конечного расширения k'/F_p(T) класс XdT не равен нулю в Br(A^1_{k'})[p]. Говоря иначе, можно предполагать, что k' -- глобальное поле характеристики p.
Заметим, что с каждым элементом a\in k' связано естественное отображение специализации k'[X] --> k', которое переводит X в a. Это задаёт отображение ev_a:Br(A^1_{k'})[p] --> Br(k')[p]=\Omega^1_{k'}/(B_{k'}+(C-Id)\O
0 --> Br(k') --> \osum_{v\in C(F_p)} \Q/\Z --> \Q/\Z --> 0, где C(F_p) есть F_p-рациональные точки единственной регулярной проективной кривой с полем частных k'.
В частности Br(k')[p] нетривиально. Из нашего описания p-кручения группы Брауэра аффинных регулярных схем следует, что
Br(k')[p]=\Omega^1_{k'}/(B_{k'}+(C-Id)\O
То есть Br(A^1_{k'}) не равно нулю для любого сепарабельного расширения k'/F_p(T). Более того, для каждого такого k', канонический элемент XdT не равен нулю в группе Брауэра. А значит и в пределе Br(A^1_k) не равно нулю. Напомним, что k=F_p(T)_{sep}, а значит Br(k)=0, так как группа Брауэра сепарабельного-замкнутого поля тривиальна. Таким образом Br(A^1_k) не равно Br(k)!
Более того, практически дословно такой же аргумент показывает, что Br(A^2_k) не равно нулю для (как минимум) конечного поля k. Вспомнив, что группа Брауэра конечного поля тривиальна, то из этого следует, что группа Брауэра не является гомотопическим инвариантом и для совершенных полей в характеристике p.
В данном посте я хочу ответить на второй вопрос из моего предыдущего текста. А именно, показать, что над несовершенным полями Br(A^1_k) не равно Br(k). Для этого мне сначала необходимо напомнить несколько фактов про кэлеровы дифференциалы и оператор Картье.
Пусть X -- произвольная регулярная схема над полем k характеристики p. Тогда мы можем определить абсолютные кэлеровы дифференциалы \Omega^1_{X/F_p}, или просто \Omega^1_{X}. Отметим, что X не является, в общем случае, схемой конечного типа над F_p (потому что уже Spec k не является конечного типа над F_p, кроме случая конечного поля k), поэтому \Omega^1_X не является когерентным пучков. Тем не менее, \Omega^1_X является квази-когерентным пучков, так как конструкция кэлеровых дифференциалов коммутирует с локализациями. Пучок \Omega^1_X приходит с естественным отображением дифференциала d:\O_X --> \Omega^1_X. Обозначим за B_X пучок кограниц, то есть im(d:\O_X --> \Omega^1_X).
Определим теперь оператор Картье C:\Omega^1_X --> \Omega^1_X/B_X (строго говоря, его обычно обозначают за C^{-1}, но в нашем случае в этом нет никакого смысла) по формуле C(fdg)=f^pg^{p-1}dg. Для начала давайте проверим корректность этого определения, а именно, что С(d(f+g))=C(df+dg).
C(d(f+g))=(f+g)^{p-1}d(f+g)=f^{p-1}df+g^
Заметим, что из этого вычисления видно, что C не определён как морфизм \Omega^1_X --> \Omega^1_X, и нужно действительно брать фактор по B_X. Другими словам, наша задача сводится к доказательству того, что (f+g)^{p-1}d(f+g)-f^{p-1}df-g^{p-1}dg является кограницей. Но это действительно так в силу формулы
(f+g)^{p-1}d(f+g)-f^{p-1}df-g^{p-1}dg=d(
Таким образом, оператор Картье корректно-определённый Фробениус-линейный морфизм C:\Omega^1_X --> \Omega^1_X/B_X. Нам будет важен ровно один нетривиальный факт про оператор Картье:
Теорема Пусть X -- регулярная схема над F_p (не обязательно конечного типа!), тогда следующая последовательность этальных пучков точная:
0 --> G_m/G_m^p -dlog-> \Omega^1_X -(C-Id)-> \Omega^1_X/B_X --> 0. (*)
Давайте я объясню откуда берутся отображения в этой последовательности. Первая стрелка dlog:G_m/G_m^p --> \Omega^1_X есть морфизм, заданный по правилу dlog(x)=(dx)/x. Это выражение имеет смысл, так как элементы x обратимы, и dx^p=px^{p-1}dx=0. Вторая стрелка C-Id:\Omega^1_X --> \Omega^1_X/B_X есть разница оператора Картье и проекции. Легко видеть, что (*) является комплексом. Не очень сложно доказать, что (*) точна в первом и третьем члене, основная сложность в доказательстве точности в среднем члене.
Последнее, что необходимо сказать перед доказательством -- это тривиальность пучка \mu_p на любой приведённой схеме X над полем k характеристики p. Действительно, любая схема U, которая этальна над X, является приведённой, так как этальные морфизмы сохраняют свойство приведённости. Тогда сечение \mu_p на U есть корни p-ой степени из 1 в Г(U,\O_U^*). Но так как U есть приведённая схема над полем характеристики p, то единственный такой корень -- это единица. То есть пучок \mu_p тривиален на (малом) этальном сайте любой приведённой схемы. Из этого следует инъективность отображения [p]:G_m --> G_m в этальном сайте Х. В частности, мы имеем точную последовательность этальных пучков
0 --> G_m --> G_m --> G_m/G_m^p -->0 . (**)
Давайте теперь доказывать нетривиальность Br(A^1_k) для несовершенного сепарабельно-замкнутого поля k.
Теорема: Для любого поля характеристики p верно следующее равенство
Br(A^1_k)[p]=\Omega^1/(B+(C-id)(\Omega^1)
где Br(A^1_k)[p] обозначает p-кручение в группе Брауэра, а \Omega^1 (соотв. B) обозначает \Omega^1_{A^1_k} (соотв. B_{A^1_k}).
Доказательство: Напишем точную последовательность этальных когомологий, ассоциированную с (**),
H^1_{et}(A^1_k,G_m) -[p]-> H^1_{et}(A^1_k,G_m) --> H^1_{et}(A^1_k, G_m/G_m^p) --> H^2(A^1_k,G_m) -[p]-> H^2(A^1_k, G_m).
Теперь вспомним, что H^1_{et}(A^1_k,G_m)=Pic(A^1_k)=0, а H^2_{et}(A^1_k,G_m)=Br(A^1_k). Откуда получаем получаем изоморфизм
Br(A^1_k)[p]=H^1_{et}(G_m/G_m^p).
Но эти когомологии мы можем считать с помощью точной последовательности (*):
0 --> G_m/G_m^p -dlog-> \Omega^1 -(C-Id)-> \Omega^1/B --> 0
Взяв соответствующую длинную точную последовательность когомологий имеем
H^0_{et}(A^1_k, \Omega^1) -(C-Id)->H^0_{et}(A^1_k, \Omega^1/B) --> H^1_{et}(A^1, G_m/G_m^p) --> H^1_{et}(A^1, \Omega^1).
Общая теория этальных когомологий говорит, что этальные когомологии квазикогерентного пучка равны когомологиям этого квазикогерентного пучка в топологии Зарисского. Вспомнив также, что высшие зарисские когомологии квазикогерентных пучков зануляются на аффинных схемах, мы видим, что
H^0_{et}(A^1_k, \Omega^1)=\Omega^1, H^1_{et}(A^1, \Omega^1)=0, H^0_{et}(A^1_k, \Omega^1/B)=Г(A^1_k, \Omega^1/B)=\Omega^1/B.
Таким образом мы имеем точную последовательность:
\Omega^1 -(C-Id)--> \Omega^1/B --> H^1_{et}(A^1, G_m/G_m^p).
Таким образом, Br(A^1_k)[p]=\Omega^1/(B+(C-Id)\Omega^1)
Замечание: Ровно такой же аргумент показывает, что для любой регулярной факториальной аффинной схемы X (например, A^2_k), группа Брауэра Br(X)[p]=\Omega^1_X/(B_X+(C-Id)\Omega^1_
Теперь нам необходимо предъявить нетривиальный элемент в группе \Omega^1_{k[X]}/(B_{k[X]}+(C-Id)\Omega^1
Отметим, что формация групп Брауэра коммутирует с индуктивными пределами, а поле F_p(T)_{sep} есть прямой предел конечных сепарабельных расширений F_p(T). И для каждого такого расширения k'/F_p(T) класс XdT корректно-определён в Br(A^1_{k'})[p]. Поэтому достаточно доказать, что для каждого конечного расширения k'/F_p(T) класс XdT не равен нулю в Br(A^1_{k'})[p]. Говоря иначе, можно предполагать, что k' -- глобальное поле характеристики p.
Заметим, что с каждым элементом a\in k' связано естественное отображение специализации k'[X] --> k', которое переводит X в a. Это задаёт отображение ev_a:Br(A^1_{k'})[p] --> Br(k')[p]=\Omega^1_{k'}/(B_{k'}+(C-Id)\O
0 --> Br(k') --> \osum_{v\in C(F_p)} \Q/\Z --> \Q/\Z --> 0, где C(F_p) есть F_p-рациональные точки единственной регулярной проективной кривой с полем частных k'.
В частности Br(k')[p] нетривиально. Из нашего описания p-кручения группы Брауэра аффинных регулярных схем следует, что
Br(k')[p]=\Omega^1_{k'}/(B_{k'}+(C-Id)\O
То есть Br(A^1_{k'}) не равно нулю для любого сепарабельного расширения k'/F_p(T). Более того, для каждого такого k', канонический элемент XdT не равен нулю в группе Брауэра. А значит и в пределе Br(A^1_k) не равно нулю. Напомним, что k=F_p(T)_{sep}, а значит Br(k)=0, так как группа Брауэра сепарабельного-замкнутого поля тривиальна. Таким образом Br(A^1_k) не равно Br(k)!
Более того, практически дословно такой же аргумент показывает, что Br(A^2_k) не равно нулю для (как минимум) конечного поля k. Вспомнив, что группа Брауэра конечного поля тривиальна, то из этого следует, что группа Брауэра не является гомотопическим инвариантом и для совершенных полей в характеристике p.
