|
|
Пишет azrt (![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small} azrt)@ 2018-01-26 15:50:00 |
 |
|
 |
|
|
|
|
|
|
 |
|
 |
Пример схемы с гомотопически неинвариантной группой Пикара
Для начала я напомню один хорошо известный факт.
Теорема: Пусть X есть регулярная схема, тогда Pic(X)=Pic(X\times A^1).
Стандартное доказательство критическим образом опирается на изоморфизм группы Пикара регулярной схемы с группой классов дивизоров Вейля, см. гл II книжки Хартсхорна. Естественный вопрос звучит следующим образом:"Верно ли это для произвольной (нётеровой) схемы X? Если нет, то какие условия нужно наложить на схему". Естественная догадка заключается в том, что это неверно. Например, из этого результата бы следовало, что Pic(Spec A[X])=0 для любого локального кольца А (так как Pic(A)=0 для любого локального кольца), а такой результат бы точно был написан во всех книжках по алгебраической геометрии. И, действительно, с некоторым трудом можно построить пример локального кольца А с Pic(A[X])\neq 0 (вероятно, есть и простой пример такого кольца А, но тот, который я знаю, не вполне очевидный). Однако в данном посте я расскажу другой контпример, который намного более естественный. Более того, для собственных многообразий над полем, которые имеют рациональную k-точку, можно дать критерий, при котором выполняется равенство Pic(X)=Pic(X\times A^1).
Давайте теперь переформулируем задачу в форме, в которой на неё будет легче ответить.
Пусть X -- любое собственное многообразие над полем k со структурным морфизмом p:X --> Spec k, тогда определим функтор Пикара как Pic_{X/k}:=R^1p_*\O_X^*, где под f_* мы понимаем прямой образ в большом этальной сайте. Совершенно нетривиальный факт гласит, что функтор Пикара Pic_{X/k} представим коммутативной групповой схемой. Хочу заметить, что это намного сложнее, чем доказательство Гротендика представимости функтора Пикара для геометрически целого проективного многообразия (см. FGA Explained), и было доказано Артином в его статье "Algebraization of Versal Deformations, I". Если же X имеет точку, то мы, кроме всего прочего, можем доказать, что Pic_{X/k}(S)=Pic(X\times S)/Pic(S) для любой k-схемы S (см. FGA Explained). В частности, так как Pic(A^1)=0, то мы заключаем, что при условии X(k)\neq 0, мы имеем Pic_{X/k}(A^1)=Pic(X\times A^1). В соответсвии с этим, мы можем переформулировать наш вопрос:
Вопрос Пусть X--собственная схема над полем k, такая что X(k) непусто. Верно ли, что Pic_{X/k}(k)=Pic_{X/k}(A^1)? Другими словами, существует ли непостоянное отображение f:A^1 --> Pic_{X/k}?
Теперь я хочу построить многообразие, в которое существует непостоянное отображение из G_a. Ответ достаточно простой, подходит любая каспидальная кривая. А именно, рассмотрим
С:=V(Y^2Z-X^3) \subset P^3_k, и обозначим за p:C --> Spec k структурный морфизм.
Рассмотрим нормализацию f:P^1 --> C (нормализация C равна P^1 есть стандартное упражнение), обозначим за p':P^1 --> Spec k структурный морфизм. Тогда у нас есть точная последовательность пучков в (малом) этальном сайте
0 --> \O_C^* --> f_* \O_{P^1}^* --> i_* \O_{Spec k} --> 0, где i:Spec k --> C замкнутое вложение единственной особой точки в C.
[Строго говоря, мы знаем, что такая последовательность пучков точна в категории пучков в топологии Зарисского. В случае этальной топологии мы всё ещё имеем данную последовательность пучков, и чтобы проверить точность достаточно проверять это послойно, что сводит вопрос к проверке точности на строгой гензелизации локального кольца в особенности C (нормализация коммутирует с строгой гензелизацией). На уровне строгой гензелизации уже можно доказывать точность на уровне глобальных сечений, поэтому это довольно легко (можно свести к равенству к точности 0 --> \O_C --> f_* \O_{P^1} --> i_* \O_{Spec k} --> 0, а это можно проверять на пополнении, где это сводится к прямым вычислениям). Доказывать точность этой последовательности в плоской топологии было бы куда сложнее!]
Теперь применим к данной короткой точной последовательности p_* и напишем соответствующую длинную точную последовательность высших прямых образов (и вспомним, что пучок \O_{Spec k} в этальной топологии по определению равен пучку G_{a,k}).
0 --> p_*\O_C^* --> p'_* \O_{P^1}^* --> (p\circ i)_*G_{a,k} --> R^1p_*\O_C^* --> R^1p'_*\O_{P^1}^*--> R^1p_*\circ i_*G_{a,k} (*)
Заметим, что p\circ i=Id_{Spec k}, кроме того Supp(i_*G_{a,k})=Spec k, а значит все высшие прямые образы этого пучка зануляются. Из этого следует, что точная последовательность (*) может быть записана следующим образом:
0 --> p_*\O_C^* --> p'_* \O_{P^1}^* --> G_{a,k} --> R^1p_*\O_C^* --> R^1p'_*\O_{P^1}^*--> 0 (**)
Так как для любой R-алгебры k, p'_*\O_{P^1}^*(Spec R)=Г(P^1_R, \O_{P^1_R}^*)=R^*, а также p_*\O_{C}^*(Spec R)=Г(C_R, \O_{C_R}^*)=R^*. Таким образом первое отображение в точной последовательности (**) изоморфизм! Теперь, вспомнив определение функтора Пикара, заключаем, что имеет место следующая короткая точная последовательность:
0 --> G_{a,k} --> Pic_{C/k} --> Pic_{P^1/k}-->0.
Более того, Pic_{P^1/k}=\Z (равенство пучков! Более или менее, это эквивалентно равенству Pic(P^1_A)=\Z для любого локального кольца А. Это не очень сложно доказать при владении некоторой когомологической техникой, но это совершенно не очевидно. К сожалению, я не знаю никакой ссылки на этот факт), так что мы можем наконец заключить, что Pic_{C/k} есть расширение \Z при помощи G_a. В частности, существует нетривиальное отображение из A^1 в Pic_{C/k}, так как G_a=A^1 на уровне схем. То есть Pic(C)\neq Pic(C\times A^1) для нодальной кубики!
Заметим, что в этом случае мы доказали нечто большее, а именно, существует не только непостоянное отображение A^1 --> Pic_{C/k}, а существует даже подгруппа G_a \subset Pic_{C/k}. И оказывается, что на самом деле существование непостоянного отображения A^1 --> Pic_{C/k} равносильно существованию подгруппы изоморфной G_a.
Теорема: Пусть X -- cобственная схема над полем k, такая что X(k) непусто, тогда следующие условия эквивалентны:
1) Pic(X)\neq Pic(X\times A^1)
2) Существует непостоянное отображение f:A^1--> Pic_{X/k}
3) Pic_{X/k} содержит подгруппу изоморфную G_a.
Доказательство:
Мы уже обсудили эквивалентность 1) и 2). Условие 3) очевидно влечёт условие 2). Осталось доказать 2)=>3).
Докажем более общее утверждение: Пусть G--коммутативная групповая схема локально конечного типа над полем k, предположим, что существует непостоянное отображение A^1 --> G, тогда G содержит подгруппу изоморфную G_a.
Выберем точку 0\in A^1(k), образ f(0) есть k-точка схемы G. Обозначим эту точку за x\in G(k) и прокомпонируем f со сдвигом на -x, чтобы свести к случае f(0)=0. Так как A^1 есть связная схема, то f пропускается через связную компоненту G^0. Поэтому можно считать, что G -- связная групповая схема локально-конечного типа над k. Так как любая связная групповая схема локально-конечного типа над полем квази-компактна, то мы также можем считать, что G конечного типа.
Теперь мы хотим свести к случаю гладкой групповой схемы. Рассмотрим схемное замыкание точек G(k_{sep}) внутри G\otimes k_{sep} -- замены базы G на сепарабельное замыкание поля k. Это геометрически приведённая схема групповая схема над k_{sep} (Теорема 3.2.1 http://math.stanford.edu/~conrad/252Pag
Для начала я напомню один хорошо известный факт.
Теорема: Пусть X есть регулярная схема, тогда Pic(X)=Pic(X\times A^1).
Стандартное доказательство критическим образом опирается на изоморфизм группы Пикара регулярной схемы с группой классов дивизоров Вейля, см. гл II книжки Хартсхорна. Естественный вопрос звучит следующим образом:"Верно ли это для произвольной (нётеровой) схемы X? Если нет, то какие условия нужно наложить на схему". Естественная догадка заключается в том, что это неверно. Например, из этого результата бы следовало, что Pic(Spec A[X])=0 для любого локального кольца А (так как Pic(A)=0 для любого локального кольца), а такой результат бы точно был написан во всех книжках по алгебраической геометрии. И, действительно, с некоторым трудом можно построить пример локального кольца А с Pic(A[X])\neq 0 (вероятно, есть и простой пример такого кольца А, но тот, который я знаю, не вполне очевидный). Однако в данном посте я расскажу другой контпример, который намного более естественный. Более того, для собственных многообразий над полем, которые имеют рациональную k-точку, можно дать критерий, при котором выполняется равенство Pic(X)=Pic(X\times A^1).
Давайте теперь переформулируем задачу в форме, в которой на неё будет легче ответить.
Пусть X -- любое собственное многообразие над полем k со структурным морфизмом p:X --> Spec k, тогда определим функтор Пикара как Pic_{X/k}:=R^1p_*\O_X^*, где под f_* мы понимаем прямой образ в большом этальной сайте. Совершенно нетривиальный факт гласит, что функтор Пикара Pic_{X/k} представим коммутативной групповой схемой. Хочу заметить, что это намного сложнее, чем доказательство Гротендика представимости функтора Пикара для геометрически целого проективного многообразия (см. FGA Explained), и было доказано Артином в его статье "Algebraization of Versal Deformations, I". Если же X имеет точку, то мы, кроме всего прочего, можем доказать, что Pic_{X/k}(S)=Pic(X\times S)/Pic(S) для любой k-схемы S (см. FGA Explained). В частности, так как Pic(A^1)=0, то мы заключаем, что при условии X(k)\neq 0, мы имеем Pic_{X/k}(A^1)=Pic(X\times A^1). В соответсвии с этим, мы можем переформулировать наш вопрос:
Вопрос Пусть X--собственная схема над полем k, такая что X(k) непусто. Верно ли, что Pic_{X/k}(k)=Pic_{X/k}(A^1)? Другими словами, существует ли непостоянное отображение f:A^1 --> Pic_{X/k}?
Теперь я хочу построить многообразие, в которое существует непостоянное отображение из G_a. Ответ достаточно простой, подходит любая каспидальная кривая. А именно, рассмотрим
С:=V(Y^2Z-X^3) \subset P^3_k, и обозначим за p:C --> Spec k структурный морфизм.
Рассмотрим нормализацию f:P^1 --> C (нормализация C равна P^1 есть стандартное упражнение), обозначим за p':P^1 --> Spec k структурный морфизм. Тогда у нас есть точная последовательность пучков в (малом) этальном сайте
0 --> \O_C^* --> f_* \O_{P^1}^* --> i_* \O_{Spec k} --> 0, где i:Spec k --> C замкнутое вложение единственной особой точки в C.
[Строго говоря, мы знаем, что такая последовательность пучков точна в категории пучков в топологии Зарисского. В случае этальной топологии мы всё ещё имеем данную последовательность пучков, и чтобы проверить точность достаточно проверять это послойно, что сводит вопрос к проверке точности на строгой гензелизации локального кольца в особенности C (нормализация коммутирует с строгой гензелизацией). На уровне строгой гензелизации уже можно доказывать точность на уровне глобальных сечений, поэтому это довольно легко (можно свести к равенству к точности 0 --> \O_C --> f_* \O_{P^1} --> i_* \O_{Spec k} --> 0, а это можно проверять на пополнении, где это сводится к прямым вычислениям). Доказывать точность этой последовательности в плоской топологии было бы куда сложнее!]
Теперь применим к данной короткой точной последовательности p_* и напишем соответствующую длинную точную последовательность высших прямых образов (и вспомним, что пучок \O_{Spec k} в этальной топологии по определению равен пучку G_{a,k}).
0 --> p_*\O_C^* --> p'_* \O_{P^1}^* --> (p\circ i)_*G_{a,k} --> R^1p_*\O_C^* --> R^1p'_*\O_{P^1}^*--> R^1p_*\circ i_*G_{a,k} (*)
Заметим, что p\circ i=Id_{Spec k}, кроме того Supp(i_*G_{a,k})=Spec k, а значит все высшие прямые образы этого пучка зануляются. Из этого следует, что точная последовательность (*) может быть записана следующим образом:
0 --> p_*\O_C^* --> p'_* \O_{P^1}^* --> G_{a,k} --> R^1p_*\O_C^* --> R^1p'_*\O_{P^1}^*--> 0 (**)
Так как для любой R-алгебры k, p'_*\O_{P^1}^*(Spec R)=Г(P^1_R, \O_{P^1_R}^*)=R^*, а также p_*\O_{C}^*(Spec R)=Г(C_R, \O_{C_R}^*)=R^*. Таким образом первое отображение в точной последовательности (**) изоморфизм! Теперь, вспомнив определение функтора Пикара, заключаем, что имеет место следующая короткая точная последовательность:
0 --> G_{a,k} --> Pic_{C/k} --> Pic_{P^1/k}-->0.
Более того, Pic_{P^1/k}=\Z (равенство пучков! Более или менее, это эквивалентно равенству Pic(P^1_A)=\Z для любого локального кольца А. Это не очень сложно доказать при владении некоторой когомологической техникой, но это совершенно не очевидно. К сожалению, я не знаю никакой ссылки на этот факт), так что мы можем наконец заключить, что Pic_{C/k} есть расширение \Z при помощи G_a. В частности, существует нетривиальное отображение из A^1 в Pic_{C/k}, так как G_a=A^1 на уровне схем. То есть Pic(C)\neq Pic(C\times A^1) для нодальной кубики!
Заметим, что в этом случае мы доказали нечто большее, а именно, существует не только непостоянное отображение A^1 --> Pic_{C/k}, а существует даже подгруппа G_a \subset Pic_{C/k}. И оказывается, что на самом деле существование непостоянного отображения A^1 --> Pic_{C/k} равносильно существованию подгруппы изоморфной G_a.
Теорема: Пусть X -- cобственная схема над полем k, такая что X(k) непусто, тогда следующие условия эквивалентны:
1) Pic(X)\neq Pic(X\times A^1)
2) Существует непостоянное отображение f:A^1--> Pic_{X/k}
3) Pic_{X/k} содержит подгруппу изоморфную G_a.
Доказательство:
Мы уже обсудили эквивалентность 1) и 2). Условие 3) очевидно влечёт условие 2). Осталось доказать 2)=>3).
Докажем более общее утверждение: Пусть G--коммутативная групповая схема локально конечного типа над полем k, предположим, что существует непостоянное отображение A^1 --> G, тогда G содержит подгруппу изоморфную G_a.
Выберем точку 0\in A^1(k), образ f(0) есть k-точка схемы G. Обозначим эту точку за x\in G(k) и прокомпонируем f со сдвигом на -x, чтобы свести к случае f(0)=0. Так как A^1 есть связная схема, то f пропускается через связную компоненту G^0. Поэтому можно считать, что G -- связная групповая схема локально-конечного типа над k. Так как любая связная групповая схема локально-конечного типа над полем квази-компактна, то мы также можем считать, что G конечного типа.
Теперь мы хотим свести к случаю гладкой групповой схемы. Рассмотрим схемное замыкание точек G(k_{sep}) внутри G\otimes k_{sep} -- замены базы G на сепарабельное замыкание поля k. Это геометрически приведённая схема групповая схема над k_{sep} (Теорема 3.2.1 http://math.stanford.edu/~conrad/252Pag
