Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет azrt ([info]azrt)
@ 2018-02-10 23:59:00
Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Пример абелева многообразия без сепарабельных поляризаций
При изучении абелевых многообразия часто бывает удобным переходить к двойственному абелеву многообразию. Кроме этого нужно уметь связывать абелево многообразие с двойственным, это делается при помощи поляризаций.

Определение: 1) Морфизм f:A --> A^ называется поляризацией, если после замены базы на алгебраическое замыкание этот морфизм может быть представлен в виде \phi_{L} для некоторого обильного пучка L\in Pic(A\otimes \bar k), где \phi_{L}(a)=t_a^*L\otimes L^{-1} (под t_a я имею сдвиг на а абелевом многообразии А).
2) Поляризация называется главной, если f:A --> A^ есть изоморфизм.

Несколько фактов про поляризации абелевых многообразий (все эти факты не вполне тривиальны, если базовое поле не равно \C):

* Любая эллиптическая кривая имеет каноническую поляризацию, которая задана пучком \O(e), где e\in E(k)--нулевое сечение.

* Любое абелево многообразие допускает неканоническую поляризацию.

* Любое абелево многообразие накрывается главно-поляризованным многообразием

* Степень любой поляризации есть квадрат натурального числа.

* Пучок L из определения поляризации всегда определён над сепарабельным замыканием k, но не всегда определён над самим полем k!

* Изогения f:A --> A^ является поляризацией, если и только если этот морфизм симметричен, то есть каноническая композиция A --> A^^ -f^->A^ совпадает с f (первая стрелка -- канонический изоморфизм абелева многообразия с дважды двойственным).

Это всё очень удобные и важные свойства, но давайте я теперь скажу что всё-таки неверно про поляризации. Зафиксируем простое число p и алгебраически замкнутое поле k, тогда неверно что для любого абелева многообразия А над полем k существует поляризация, степень которой взаимно-проста с p. В частности, неверно что любое абелево многообразие главно-поляризованное. Куда более интересный пример получается, если положить поле k характеристики p, тогда пример выше будет давать нам пример абелева многообразия над k, у которого нет ни одной сепарабельной поляризации!

Чтобы построить пример зафиксируем две (ординарные, если char k = p) неизогенные эллиптические кривые E и E' (то есть между ними нет нетривиальных отображений). Тогда из алгебраической замкнутости (и ординарности) следует, что Z/pZ подгруппа E[p] и E'[p]. Положим A:=ExE'/(Z/pZ), где Z/pZ вложено диагонально в E\times E'. Фактор является абелевым многообразием размерности 2. Я утверждаю, что степень любой поляризации на A делит p.

Зафиксируем два канонических вложения j:E --> A и j':E' --> A и предположим, что f:A--> A^ есть поляризация, степень которой взаимно-проста с p. Рассмотрим композицию

g:E-j-->A -f-->A^-j^-->E^ и g':E'-j'-->A-f-->A^-j'^-->E'^.

Легко видеть, что обе эти композиции (g и g') являются симметрическими морфизмами (условно f симметрический, так как поляризация, а при переходе к двойственному j и j^ меняются местами). Я утверждаю, что они являются поляризациями, действительно, чтобы проверить, что они являются поляризациями достаточно проверить, что они являются изогениями (по последнему факту о поляризациях в начале поста). Рассмотрим теперь следующую композицию:

h:ExE'-jxj'--> A-f-->A^-(jxj')^-->E^xE'^.

Любое отображение из произведения полных многообразий в групповую схему есть произведение ограничений на обе координаты. То есть, h(x,y)=h|_{E}(x)*h|_{E'}(y). Но заметим, что h|_E=g, так как E'^ изоморфно E' (факт 1 о поляризациях), а по предположению между ними нет морфизмов. Значит h|_{E}:E --> Ex{e'}, легко видеть из определений, что этот морфизм по определению совпадает с g. Аналогично h|_{E'}=g', таким образом, мы видим, что h=g\times g'. В свою очередь h есть изогения как композиция изогений. В частности, каждый морфизм из g и g' является изогенией.

Заметим теперь, что jxj':ExE'--> A является каноническим отображением факторизации ExE'-->A, а значит имеет степень p (это факторизация по действию Z/pZ). Степень двойственного морфизма всегда равна степени самого морфизма, а значит deg(jxj')=p. Так как по предположению степень f не делится на p, то мы заключаем, что deg(h) делится на p^2, но не делится на p^3.

Теперь по факту 4 об изогениях и равенству h=gxg' заключаем, что степень одной из этих изогений делится на p^2, а степень другой взаимно-проста с p. Не нарушая общности, можно считать, что deg(g) делится на p^2. Но для любого числа m^2 существует ровно одна изогения E степени m^2, а именно, после канонического отождествления E с E^ это отображение переходим в умножение на m. Из этого следует, что ker g содержит полность E[p], а ker g' не пересекается с E'[p].

Заметим, что из того, что deg f взаимно-просто с p, мы можем вывести, что f является изоморфизмом на p кручении. А значит p-кручение ядра g (соотв. g') равно схемно-теоретическому пересечению p-кручения ядра (jxj')^ и образа j(E) (соотв. j'(E')). Так как ker g содержит E[p] (которое содержит нашу копию Z/pZ), то получаем что j(Z/pZ) содержится в ker (jxj')^. Но j(Z/pZ)=j'(Z/pZ) => j'(Z/pZ) лежит внутри ker(jxj')^ => ker(g') содержит копию Z/pZ внутри E'! То есть имеет p-кручение, противоречие => deg(f) обязана делиться на p.

(Добавить комментарий)


(Анонимно)
2019-01-26 19:00 (ссылка)
WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E WO/\bU,E

(Ответить)