ПИСЬМО К ШОЛЬЦЕ (ЗДРАВСТВУЙТЕ, МАРТИН АЛЕКСЕЕВИЧ...)
Сегодня долго не мог доказать результат про жёстко-аналитические пространства, который выглядит "очевидно" (напишу в комментариях результат, вдруг кто умеет такое доказывать), но при доказательстве возникает куча проблем. В основном потому, что в определении адического пространства пучок \O_X^+ должен быть целозамкнут в \O_X, поэтому при всех конструкциях (расслоенное произведение, открытое подмножество) необходимо насильно добавлять целое замыкание. Контролировать это очень сложно, возникает миллион технических проблем.

В какой-то момент отчаялся и решил посмотреть как с этой проблемой справился Шольце вот тут (Lemma 5.5 Lemma 5.6). Так как Лемма 5.5 сформулирована максимально идиотским способом (S_0 должно быть R_0 алгеброй, иначе это не имеет смысла), то я думал, что Лемма 5.5 верна только для в предположении плоскости над R_0 (а не над Z_p). В доказательстве Леммы 5.6 Шольце применяет Лемму 5.5 к морфизму R_{m}^+ --> S_m^{(j),+}, который приходит с этального морфизма Spa(R_m, R_m^+)--> Spa(S_m^{(j)}, S_m^{(j), +}). Более того, в другой статье на странице 65 явно утверждается, что этот морфизм должен быть плоским.

Естественная гипотеза, что должно быть верно следующее утверждение

Гипотеза: Пусть Spa(S, S^+)--> Spa(R, R^+) этальный морфизм жёстко-аналитических пространств, тогда R^+ --> S^+ есть плоский морфизм.

Оказалось, что это неверно! (на самом деле не очень удивительно, если об это немного задуматься, но конкретный пример мне было сложно придумать. Заняло весь день) Я написал Шольце и спросил объяснить его доказательство. Он извинился за дебиков, которые неправильно его цитируют, за "your confusion" и объяснил, что на самом деле Z_p-плоскости хватает, вкратце потому что всё приходит "заменой базы с \O_K". Толку мало, в моём случае это мало помогает (а плоскость бы сильно упростила мне жизнь!).

Ниже контрпример к гипотезе, мне лень переводить на русский. Копирую из письма к Шольце (прошу прощения за плохой английский).

Example: Let \X --> Spec Z_p be an arbitrary (proper) flat morphism s.t. its generic fibre is smooth, \X is normal as a scheme but not regular. For example, one can take an elliptic curve over Q_p with multiple components in a special fibre of its Neron Model, then its Minimal Weierstrass form is flat, normal over Z_p but not regular.

Then Lipman's resolution of singularities for excellent surfaces shows that there is a resolution f:\X' --> \X s.t. \X' is flat over Z_p (because it doesn't have p-torsion), \X' is
regular and a morphism f induces the identity morphism on generic fibres.

I claim that f can't be flat since regularity descends along faithfully flat morphisms of noetherian schemes. Hence we can choose some open charts where morphism is not flat g:Spec A' --> Spec A. Now by fibral criterion for flatness we know that A/p --> A'/p can't be flat (since both A and A' are flat over A' and this map is an isomorphism on generic fibres). And this map g: Spec A'[1/p] --> Spec A[1/p] is an open immersion since both schemes are open subschemes of X_{\Q_p}.

Now we can complete both A and A' with respect to the ideal (p). To get a map A^-->A'^, since a completion morphism is regular (EGA IV_2 7.8.3(v)) for excellent rings we conclude that A^ and A'^ are both normal again (R1+S2 criterion). Note that A^-->A'^ can't be flat since mod p it coincides with A/p --> A'/p which is not flat. But if we pass to generic fibres we get an open immersion Spa(A'^[1/p], A'^+) --> Spa(A^[1/p],A^+) since Raynaud generic fibre of a completion of a scheme is an open subspace of the analytification of the generic fibre of a scheme and (Spec A'[1/p])^{an} --> (Spec A[1/p])^{an} is an open immersion. So, T:=Spa(A'^[1/p], A'^+) --> S:=Spa(A^[1/p],A^+) is an open immersion of rigid-analytic spaces.

Finally, since A'^ and A^ are normal we conclude that A'^+=A'^ and A^+=A^. Thus a map \O_T^+(T)-->\O_S^+(S) coincides with a map A^-->A'^ and fails to be flat.