|
|
Пишет azrt (![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small} azrt)@ 2020-08-04 00:28:00 |
 |
|
 |
|
|
|
|
|
|
 |
|
 |
Генератор вс Классический Генератор
Пример генератора в трингулированной категории, который не является классическим генератором. Прежде чем строить пример, я напомню определения.
Определение 1: Элемент P триангулированной категории D называется генератором, если любой K\in D с Hom(P[i], K)=0 для всех i\in Z, изоморфен нулевому объекту.
Определение 2: Элемент P триангулированной категории D называется классическим генератором, если минимальная полная, насыщенная (замкнутая относительно прямых слагаемых) триангулированная подкатегория D, содержащая P, является всей категорией D.
Пример: Пусть R - кольцо, тогда модуль R[0] является классическим генератором в ограниченной производной категории D^b(R). При этом R является генератором в неограниченной производной категории D(R).
Легко видеть, что любой классический генератор является обычным генератором.
Вопрос: Верно ли обратное?
Ответ: (Очевидно,) Нет.
Пример выше показывает, что R[0]\in D(R) генератор, не являющийся классическим генератором. Более разумный вопрос можно ли построить контрпример для ``ограниченных категорий''.
Контрпример очень простой. Возьмём в качестве нашей категории D^b_{coh}(Z_p) производную категорию комплексов над целыми п-адическими числами Z_p с конечномерными когомологиями. Тогда F_p[0]\in D^b_{coh}(Z_p) является генератором, но не является классическим генератором.
Утверждение 1: Модуль F_p[0] является генератором в D^b_{coh}(Z_p).
Доказательство: Допустим Hom(F_p[i], M)=0 для любого i\in Z. Тогда заметим, что (производно) двойственным модуль F_p^{\vee}:=RHom(F_p, Z_p) изоморфен F_p[-1] (легко видеть из резольвенты Z_p -p-> Z_p --> F_p). Тогда
Hom(F_p[i], M)=H^{-i}(RHom(F_p, M))=H^{-i}(F_p^{\vee} \otimes^L M) = H^{-i}(F_p[-1] \otimes^L M)=H^{-i-1}(F_p \otimes^L M).
Поэтому условие на зануление всех Hom(F_p[i], M) влечёт, что F_p\otimes^L M = 0. Легко видеть из леммы Накаямы, что это влечёт M = 0. А значит F_p действительно генератор.
Утверждение 2: Модуль F_p[0] не является классическим генератором в D^b_{coh}(Z_p).
Доказательство: Действительно, рассмотрим полную подкатегорию D^b_{coh, p}(Z_p) \subset D^b_{coh}(Z_p) комплексов, у которых все когомологии убиваются какой-то степенью p^m. Тогда это полная, насыщенная, триангулированная подкатегория в D^b_{coh}(Z_p), содержащая F_p. А значит < F_p[0] > \subset D^b_{coh, p}(Z_p), и D^b_{coh, p}(Z_p) строго меньше D^b_{coh}(Z_p). А значит F_p не классический генератор.
Замечание: На самом деле можно показать, что < F_p[0] > = D^b_{coh, p}(Z_p)
Следствие: Элемент F_p[0] \in D^b_{coh}(Z_p) генератор, который не является классическим генератором.
Послесловие:
Почему это ``важный'' и естественный вопрос? Допустим мы хотим доказывать формальную ГАГУ, то есть что если X собственная схема над I-адически полным, нётеровым кольцом А. Тогда функтор D^b_{coh}(X) --> D^b_{coh}(\X) является эквивалентностью, где \X -- это формальное I-адическое пополнение X.
Теорема о формальных функциях утверждает, что функтор D^b_{coh}(X) --> D^b_{coh}(\X) является строго полным, поэтому реально достаточно доказать существенную сюрьективность.
Фейковый аргумент такой: Выберем компактный генератор P_0 в D^b(X\otimes_A A/I), тогда этот комплекс можно рассматривать как элемент D^b_{coh}(\X). C некоторой работой можно показать, что P_0 будет генератором в D^b_{coh}(\X). Если бы этот комплекс был классическим генератором, то D^b_{coh}(X) \subset D^b_{coh}(\X) была бы строго полной, насыщенной триангулированной подкатегорией в D^b_{coh}(\X), содержащей классический генератор. Значит эта подкатегория обязана быть всей категорией.
Аргумент не работает никогда по причинам описанным выше. Если пытаться обобщить этот аргумент таким образом: пусть мы знаем, что образ содержит все комплексы с точностью до I, то содержит все комплексы. Тогда с некоторым (большим) трудом можно восстановить доказательство формальной ГАГИ из статьи Джека Холла https://www.math.arizona.edu/~jackh
Послесловие 2:
Почему этого недостаточно? Доказательство Джекка Холла ломается для (артиновых) стэков. Хотя есть независимое доказательство формальной ГАГИ для собственных стэков, собственность достаточно ограничительное условие для стэков. Например, BG_m не является собственным стэком или, более общо, BG не является собственным стэком, если dim G>0. Более разумное (но, вероятно, слишком общее) условие -- это когомологическая собственность. Это условие на то, что когомологии когерентных пучков на X-->Spec A является конечными А-модулями. Стэки типа BG для редуктивных G являются когологически собственным, а в хар. 0 BG является когомологически собственным для любой аффинной группы G.
Когомологическая собственность формально (по крайней мере при минимальных ограничениях) влечёт теорему о формальных функциях. Поэтому если X --> Spec A когомологически собственный, то D^b_coh(X) --> D^b_coh(\X) строго полный функтор.
Вопрос: Всегда ли это экивалентность, то есть всегда ли этот функтор сущетсвенно сюрьективный.
Ответ: Нет. BG_a в характеристике 0 даёт контрпример. Вероятно, я в какой-то момент запишу этот контрпример.
Значит, по крайней мере для стэков, предложенный выше ``аргумент'' нельзя сделать строгим аргументом.
Есть гипотеза, что формальная ГАГА должна быть верна для всех когомологически собственных артиновых стэков с adequate moduli space + (что-нибудь ещё, мб нужна аффинность диагонали) (я не знаю кому принадлежит эта гипотеза, но я услышал этот вопрос в первый раз от Бхатта). Более точно, если А I-адически полное нётерово локальное кольцо с когомологически собственным морфизмом X --> Spec A, таким что Spec A является adequate moduli space стэка X в смысле https://sites.math.washington.edu/~jaro
Было бы интересно понять какое ещё абстрактное условие надо наложить на категории, чтобы строгая полнота + сюрьективность мод I влекла сюрьективность. Морально это обобщение утверждения, что если M I-адически полный модуль над I-адически полным кольцом А, то сюрьективность морфизма N --> M можно проверять по модулю I. В нашем случае можно доказать, что D^b_{coh}(\X) действительно является lim D^b_{coh}(\X_n) в ``oo-смысле'', поэтому D^b_{coh}(\X) должна быть ``I-адически полной категорией". Плюс морфизм D^b_coh(X) --> D^b_coh(\X), очевидно, сюрьективный мод I, так это это просто тождественный изоморфизм D^b_coh(X\otimes_A A/I) --> D^b_coh(\X\otimes_A A/I).
В частности, если бы получилось формализовать аргумент выше, то это (скорее всего) доказывало бы гипотезу выше.
P.S. Вроде есть отдельная гипотеза, что когомологическая собственность для adequate moduli space должна быть тоже автоматически верна. Но я не знаю статус этой гипотезы.
Пример генератора в трингулированной категории, который не является классическим генератором. Прежде чем строить пример, я напомню определения.
Определение 1: Элемент P триангулированной категории D называется генератором, если любой K\in D с Hom(P[i], K)=0 для всех i\in Z, изоморфен нулевому объекту.
Определение 2: Элемент P триангулированной категории D называется классическим генератором, если минимальная полная, насыщенная (замкнутая относительно прямых слагаемых) триангулированная подкатегория D, содержащая P, является всей категорией D.
Пример: Пусть R - кольцо, тогда модуль R[0] является классическим генератором в ограниченной производной категории D^b(R). При этом R является генератором в неограниченной производной категории D(R).
Легко видеть, что любой классический генератор является обычным генератором.
Вопрос: Верно ли обратное?
Ответ: (Очевидно,) Нет.
Пример выше показывает, что R[0]\in D(R) генератор, не являющийся классическим генератором. Более разумный вопрос можно ли построить контрпример для ``ограниченных категорий''.
Контрпример очень простой. Возьмём в качестве нашей категории D^b_{coh}(Z_p) производную категорию комплексов над целыми п-адическими числами Z_p с конечномерными когомологиями. Тогда F_p[0]\in D^b_{coh}(Z_p) является генератором, но не является классическим генератором.
Утверждение 1: Модуль F_p[0] является генератором в D^b_{coh}(Z_p).
Доказательство: Допустим Hom(F_p[i], M)=0 для любого i\in Z. Тогда заметим, что (производно) двойственным модуль F_p^{\vee}:=RHom(F_p, Z_p) изоморфен F_p[-1] (легко видеть из резольвенты Z_p -p-> Z_p --> F_p). Тогда
Hom(F_p[i], M)=H^{-i}(RHom(F_p, M))=H^{-i}(F_p^{\vee} \otimes^L M) = H^{-i}(F_p[-1] \otimes^L M)=H^{-i-1}(F_p \otimes^L M).
Поэтому условие на зануление всех Hom(F_p[i], M) влечёт, что F_p\otimes^L M = 0. Легко видеть из леммы Накаямы, что это влечёт M = 0. А значит F_p действительно генератор.
Утверждение 2: Модуль F_p[0] не является классическим генератором в D^b_{coh}(Z_p).
Доказательство: Действительно, рассмотрим полную подкатегорию D^b_{coh, p}(Z_p) \subset D^b_{coh}(Z_p) комплексов, у которых все когомологии убиваются какой-то степенью p^m. Тогда это полная, насыщенная, триангулированная подкатегория в D^b_{coh}(Z_p), содержащая F_p. А значит < F_p[0] > \subset D^b_{coh, p}(Z_p), и D^b_{coh, p}(Z_p) строго меньше D^b_{coh}(Z_p). А значит F_p не классический генератор.
Замечание: На самом деле можно показать, что < F_p[0] > = D^b_{coh, p}(Z_p)
Следствие: Элемент F_p[0] \in D^b_{coh}(Z_p) генератор, который не является классическим генератором.
Послесловие:
Почему это ``важный'' и естественный вопрос? Допустим мы хотим доказывать формальную ГАГУ, то есть что если X собственная схема над I-адически полным, нётеровым кольцом А. Тогда функтор D^b_{coh}(X) --> D^b_{coh}(\X) является эквивалентностью, где \X -- это формальное I-адическое пополнение X.
Теорема о формальных функциях утверждает, что функтор D^b_{coh}(X) --> D^b_{coh}(\X) является строго полным, поэтому реально достаточно доказать существенную сюрьективность.
Фейковый аргумент такой: Выберем компактный генератор P_0 в D^b(X\otimes_A A/I), тогда этот комплекс можно рассматривать как элемент D^b_{coh}(\X). C некоторой работой можно показать, что P_0 будет генератором в D^b_{coh}(\X). Если бы этот комплекс был классическим генератором, то D^b_{coh}(X) \subset D^b_{coh}(\X) была бы строго полной, насыщенной триангулированной подкатегорией в D^b_{coh}(\X), содержащей классический генератор. Значит эта подкатегория обязана быть всей категорией.
Аргумент не работает никогда по причинам описанным выше. Если пытаться обобщить этот аргумент таким образом: пусть мы знаем, что образ содержит все комплексы с точностью до I, то содержит все комплексы. Тогда с некоторым (большим) трудом можно восстановить доказательство формальной ГАГИ из статьи Джека Холла https://www.math.arizona.edu/~jackh
Послесловие 2:
Почему этого недостаточно? Доказательство Джекка Холла ломается для (артиновых) стэков. Хотя есть независимое доказательство формальной ГАГИ для собственных стэков, собственность достаточно ограничительное условие для стэков. Например, BG_m не является собственным стэком или, более общо, BG не является собственным стэком, если dim G>0. Более разумное (но, вероятно, слишком общее) условие -- это когомологическая собственность. Это условие на то, что когомологии когерентных пучков на X-->Spec A является конечными А-модулями. Стэки типа BG для редуктивных G являются когологически собственным, а в хар. 0 BG является когомологически собственным для любой аффинной группы G.
Когомологическая собственность формально (по крайней мере при минимальных ограничениях) влечёт теорему о формальных функциях. Поэтому если X --> Spec A когомологически собственный, то D^b_coh(X) --> D^b_coh(\X) строго полный функтор.
Вопрос: Всегда ли это экивалентность, то есть всегда ли этот функтор сущетсвенно сюрьективный.
Ответ: Нет. BG_a в характеристике 0 даёт контрпример. Вероятно, я в какой-то момент запишу этот контрпример.
Значит, по крайней мере для стэков, предложенный выше ``аргумент'' нельзя сделать строгим аргументом.
Есть гипотеза, что формальная ГАГА должна быть верна для всех когомологически собственных артиновых стэков с adequate moduli space + (что-нибудь ещё, мб нужна аффинность диагонали) (я не знаю кому принадлежит эта гипотеза, но я услышал этот вопрос в первый раз от Бхатта). Более точно, если А I-адически полное нётерово локальное кольцо с когомологически собственным морфизмом X --> Spec A, таким что Spec A является adequate moduli space стэка X в смысле https://sites.math.washington.edu/~jaro
Было бы интересно понять какое ещё абстрактное условие надо наложить на категории, чтобы строгая полнота + сюрьективность мод I влекла сюрьективность. Морально это обобщение утверждения, что если M I-адически полный модуль над I-адически полным кольцом А, то сюрьективность морфизма N --> M можно проверять по модулю I. В нашем случае можно доказать, что D^b_{coh}(\X) действительно является lim D^b_{coh}(\X_n) в ``oo-смысле'', поэтому D^b_{coh}(\X) должна быть ``I-адически полной категорией". Плюс морфизм D^b_coh(X) --> D^b_coh(\X), очевидно, сюрьективный мод I, так это это просто тождественный изоморфизм D^b_coh(X\otimes_A A/I) --> D^b_coh(\X\otimes_A A/I).
В частности, если бы получилось формализовать аргумент выше, то это (скорее всего) доказывало бы гипотезу выше.
P.S. Вроде есть отдельная гипотеза, что когомологическая собственность для adequate moduli space должна быть тоже автоматически верна. Но я не знаю статус этой гипотезы.
