Группа Брауэра и расширения полей II. Вопрос 1. Давайте теперь обсудим Вопрос 1 из
моего предыдущего поста . А именно, я приведу пример поля k и гладкой, геометрически целой, собственной схемы Х, такой что отображение Br(X) \to Br(X \otimes_k \bar k) не инъективно. Мой пример будет не совсем явным, а опираться на пример Мамфорда гладкой, проективной поверхности с неприведённой схемой Пикара. Я этот пример не разбирал, надеюсь, что Мамфорд доказал существование такой поверхности для произвольного поля. По крайней мере я буду предполагать, что для любого поля k положительной характеристики существует гладкая, геометрически целая, проективная поверхность X, такая что Pic_{X/k} не является приведённой.
Давайте начнём строить пример. Выберем поля k таким образом, чтобы оно было сепарабельно-замкнутым полем характеристики p и группа k^*/(k^*)^p была бесконечной. Например, подойдёт сепарабельное замыкание F_p(T). Теперь зафиксируем поверхность Мамфорда X над выбранным полем k. Я утверждаю, что отображение Br(X) --> Br(X\otimes_k \bar k) не является инъективным.
Давайте потихоньку изучать ситуацию. Для начала напишем спектальную последовательно Лерэ-Серра для отображения f:X --> Spec k:
E_{2}^{p,q}=H^p_{fl}(k, R^qf_* G_m) => H^{p+q}_{fl}(X, G_m).
Теперь мы хотим доказать, что достаточно много членов в этой спектралке зануляется, чтобы мы могли вытащить какую-нибудь полезную информацию.
Шаг 1: E_2^{p,0}=H^p_{fl}(k,f_*G_m) зануляется при p>0. Во-первых, из геометрической целости X следует, что f_* G_m=G_m. Таким образом, H^p_{fl}(k,f_*G_m)=H^p_{fl}(k,G_m). Теперь применим
теорему Гротендика , чтобы получить H^p_{fl}(k,G_m)=H^p_{et}(k,G_m). Но этальные когомологии сепарабельно-замкнутого поля нулевые с коэффициентами в любом пучке! Поэтому E_2^{p,0}=0 при p>0. (Далее мы часто будем использовать аргументы такого типа, иногда опуская часть деталей)
Шаг 2: Из Шага 1 следует, что E_2^{1,1}=E_{\infty}^{1,1}, потому что ему не с чем сократиться. А так как E_{\infty}^{2,0}=E_{2}^{2,0}=0, мы заключаем, что у нас имеется инъективное отображение E_{2}^{1,1} \to H^2(X,G_m) (так как спектралка сходится к H^{p+q}_{fl}(X,G_m)). Подставляя значение E_2^{1,1} получаем инъективное отображение H^1_{fl}(k, R^1f_*G_m) --> Br(X). Более того, R^1f_*G_m=Pic_{X/k} примерно по определению функтора Pic_{X/k}. Таким образом, имеем инъективное отображение H^1_{fl}(k, Pic_{X/k}) \to Br(X).
Шаг 3: Из Шага 1 также следует, что E_{\infty}^{0,2}=E_{3}^{0,2}.
Распишем теперь E_3^{0,2} по определению
E_3^{0,2}=ker (d:E_2^{0,2} --> E_2^{1,1})=
=ker(d:H^0_{fl}(k, R^2f_*G_m) --> H^2_{fl}(k, R^1f_*G_m))=
=ker(d:H^0_{fl}(k, R^2f_*G_m) --> H^2_{fl}(k, Pic_{X/k}))
Шаг 4: Опять же из Шага 1 следует, что E_{\infty}^{3,0}=0, поэтому общая теория спектральных последовательностей говорит нам, что у нас есть точная последовательность
0 --> E_{\infty}^{1,1} --> H^2_{fl}(X, G_m) --> E_{\infty}^{0,2} --> 0.
Подставляем сюда результаты Шагов 2 и 3 и получаем следующую точную последовательность.
0 --> H^1_{fl}(k, Pic_{X/k}) --> Br(X) --> ker(H^0_{fl}(k, R^2f_*G_m) --> H^2_{fl}(k, Pic_{X/k})) -->0.
Или, переписывая чуть красивее, видим следующую точную последовательность:
0 --> H^1_{fl}(k, Pic_{X/k}) --> Br(X) --> H^0_{fl}(k, R^2f_*G_m) --> H^2_{fl}(k, Pic_{X/k}) (*)
Теперь давайте попробуем посчитать H^0_{fl}(k, R^2f_*G_m). Обозначим X':=X\otimes_k \bar k и X'':=X\otimes_k (\bar k \otimes_k \bar k). Так как любое покрытие в плоской топологии U \to Spec k доминируется покрытием \Spec \bar k \to Spec k (теорема Гильберта о нулях), то R^2f_*G_m(Spec \bar k)=H^2_{fl}(X',G_m)=Br(X') (тонкость в том, что в определении R^2f_* участвует пучковизация. Априори это довольно загадочный функтор, но в нашем случае теорема Гильберта о нулях позволяет нам посчитать R^2f_* довольно явно). Сказав все эти слова, мы посчитаем H^0_{fl}(k, R^2f_*G_m), применив определение пучка к плоскому покрытию Spec \bar k \to Spec k. А именно,
H^0_{fl}(k, R^2f_*G_m)=ker(R^2f_*G_m(Spec \bar k) --> R^2f_*G_m(Spec \bar k \otimes_k \bar k))=ker(H^2_{fl}(X', G_m) -->H^2_{fl}(X'',G_m))=ker(Br(X') --> Br(X'')).
Подставим теперь это в точную последовательность (*) и прокомпонируем с естественным пложением ker(Br(X') --> Br(X'')) в Br(X'), чтобы получить точную последовательность
0 --> H^1_{fl}(k, Pic_{X/k}) --> Br(X) --> Br(X')
Давайте поймём что мы тут уже понадоказывали про Br(X) \to Br(X'). А мы уже "посчитали" интересующее нас ядро отображения Br(X) --> Br(X'), и оно равно H^1_{fl}(k, Pic_{X/k})!
Наблюдение: Сейчас мы легко можем заключить, что Br(X) --> Br(X') инъективно, если Pic_{X/k} есть гладкая схема. Воспользуемся опять теоремой Гротендика, чтобы сказать, что H^1_{fl}(k,Pic_{X/k})=H^1_{et}(k,Pic_{X/k}
)=0 в силу сепарабельной замкнутости k. Таким образом, вся наша беда действительно сосредоточена в негладкости схемы Pic_{X/k}.
Нам осталось посчитать H^1_{fl}(k, Pic_{X/k}). Это будем довольно большая серия редукций, в итоге все сведётся к когомологиям \mu_{p^n} и \alpha_{p}. Давайте попорядку, в Pic_{X/k} мы можем выделить связную компоненту единицы Pic^0_{X/k}, фактор по которой будет этальная группа NS_{X/k}.
0 --> Pic^0_{X/k} --> Pic_{X/k} --> NS_{X/k} --> 0 (**)
В SGA 6 доказана довольно нетривиальная теорема о том, что NS всегда является конечно-порождённой группой. Помимо этого, она этальна, в частности, гладкая. А значит, что
H^1_{fl}(k, NS_{X/k})=H^1_{et}(k, NS_{X/k})=0. Напишем теперь длинную точную последовать, ассоциированную с (**), чтобы получить точную последовательность:
NS_{X/k}(k) --> H^1_{fl}(k, Pic^0_{X/k}) --> H^1_{fl}(k, Pic_{X/k}) --> 0
Замечаем, что так как NS_{X/k}(k) конечно-порождена, то для доказательства нетривиальности H^1_{fl}(k, Pic_{X/k}) достаточно доказать, что абелева группа H^1_{fl}(k, Pic^0_{X/k}) не является конечно-порождённой. Теперь ключевой момент, нам нужно воспользоваться следующей леммой.
Лемма: Пусть G -- собственная коммутативная связная групповая схема над полем k, тогда G_red является гладкой собственной замкнутой подгруппой в G.
Замечание: Эта Лемма совершенно нетривиальна и удивительна! Конечно, она тривиальна над совершенными полями, но над несовершенными полями она абсолютно нетривиальна и неверна без предположения собственности. Существуют примеры, когда G_red не является подгруппой или не является гладкой. Я не знаю никакой ссылки на этот факт, вероятно, я его докажу в отдельном посту.
Воспользуемся этой леммой, и напишем следующую короткую точную последовательность:
0 --> Pic^0_{X/k}_{red} --> Pic^0_{X/k} --> I -->0
Заметим, что из гладкости Pic^0_{X/k}_{red} следует зануление H^i_{fl}(k, Pic^0_{X/k}_{red}) при i>0 (опять теорема Гротендика). Поэтому H^1_{fl}(k, Pic^0_{X/k})=H^1_{fl}(k,I).
Давайте поймём, что мы знаем про I. Во-первых, I является конечной групповой схемой в силу квази-компактности схемы Pic^0_{X/k} (любая связная групповая схема над полем квази-компактна, несложный факт). Во-вторых, она является связной коммутативной групповой схемой в силу связности и коммутативности Pic^0_{X/k}. В сумме, I является конечной коммутативной групповой схемой, поэтому мы можем изучать её с помощью стандартных способов в духе двойственности Картье и local-'etale точных последовательностей. (См.
Лекции Pink'a для определений и доказательств основных теорем теории конечных коммутативных групповых схем) Рассмотрим групповую схему D(I), которая является двойственной по Картье к I. Для неё существует local-etale короткая точная последовательность
0 --> D(I)^0 --> D(I) --> D(I)^{et} --> 0
Перейдя обратно к двойственным по Картье, получаем точную последовательность:
0 --> D(D(I)^{et}) --> I --> D(D(I)^0) --> 0.
Отметим, что из сепарабельной замкнутости k следует, что все этальные коммутативные конечные группы -- постоянны, то есть равны произведению различных Z/NZ. Картье-двойственная группа к Z/NZ есть \mu_N. Отсюда следует, что A:=D(D(I)^{et})=\prod_N \mu_{N}^{m_N}. Но также мы знаем, что I локальная группа, поэтому и все подгруппы должны быть такими, следовательно, все подгруппы \mu_N, встречающиеся в A, должны быть локальными. Но конечная группа \mu_N является локальной только в случае N=p^k для некоторого натурального числа k. Заключаем, что A=\prod_k \mu_{p^k}^{m_k}.
Докажем, что если A есть нетривиальная схема, то H^1_{fl}(k,I) не конечно-порождённая группа. Обозначим D(D(I)^0) за B. Мы имеем короткую точную последовательность
0 --> A --> I --> B --> 0 (***)
Так как A, I и B являются локальными групповыми схемами, то A(k)=I(k)=B(k)={0}. Откуда следует, что написав длинную точную последовательность когомологий, ассоциированную с (***), получаем точную последовательность
0 --> H^1_{fl}(k,A) --> H^1_{fl}(k, I) --> H^1_{fl} (B) --> H^2_{fl}(k, A).
В частности, H^1_{fl}(k,A) вкладывается в H^1_{fl}(k,I). Вспомним, что A есть произведение групп вида \mu_{p^k}, а значит, что нам достаточно доказать, что H^1_{fl}(k,\mu_{p^k}) не является конечно-порождённой группой, чтобы заключить такое же следствие для A. В плоской топологии мы имеем точную последовательность Куммера
0 --> \mu_{p^n} --> G_m --> G_m --> 0
Применяю вездесущую теорему Гротендика, мы видим из длинной точной последовательности когомологий, что H^1(k, \mu_{p^n})=k^*/(k^*)^{p^n}. Но по предположению на наше базовое поле k, группа k^*/(k^*)^{p} бесконечна. Следовательно, и группа k^*/{k^*}^{p^n} является бесконечной. Кроме того, это группа кручения, поэтому из бесконечности следует, что эта группа не конечно-порождена. То есть, если A не равно нулю, то H^1_{fl}(k,A) вкладывается в H^1_{fl}(k, I) и мы победили!
Теперь пусть A=0. В этом случае I=B=(D(I)^0) есть нетривиальная группа. Этот случай самый сложный, но давайте проанализируем и его. B является локальной конечной коммутативной групповой схемой (так как B изоморфна I). С другой стороны, Картье двойственная к ней является также локальной. Классификация конечных коммутативных групповых схем говорит нам, что в этом случае операторы Фробениуса F и Фершибунга V нильпотентны на B (См. Prop. 15.6 в записка Pink'a). Профильтруем B по ядрам степеней F и V, чтобы предполагать, что B является последовательным расширением групп, на которых F и V действуют нулём. Обозначим эту фильтрацию за
0\subset B_{n+1} \subset B_{n} \subset B_{n-1} \subset ... \subset B_0=B.
Классификация конечных коммутативных групповых схем c F=0 и V=0 говорит, что (B_i/B_{i+1}) изоморфно групповой схеме \alpha_{p}^{m_i} (См. Prop. 16.2 в записках Pink'a). Уплотним нашу фильтрацию, чтобы предполагать, что B_i/B_{i+1}=\alpha_p.
Схоже с тем, что мы делали в случае нетривиальной подсхемы A, мы можем показать, что H^1_{fl}(k, B_n) вкладывается в H^1_{fl}(k, B) (мы используем, что все группы B_i и все их факторы являются локальными). То есть нам достаточно показать, что H^1_{fl}(k, \alpha_p) не является конечно-порождённой группой. Для этого рассмотрим короткую точную последовательность Артина-Шрайера
0 --> \alpha_p --> G_a --> G_a -->0
Точно такой же аргумент, как в случае короткой точной последовательности Куммера, показывает, что H^1_{fl}(k, \alpha_p)=k/k^p (фактор как аддитивной группы). Теперь выберем базис {e_i} векторного пространства k над полем k^p, то есть k=\osum_{i\geq 0} e_i*k^p. Не нарушая общности, можно считать, что e_0=1, тогда k/k^p\subset \osum_{i>0} e_i*k^p. То есть фактор содержит как минимум одну копию k^p. Из несепарабельности k заключаем, что k не конечно, то есть k/k^p --бесконечная группа, но она ещё и группа кручения, так как char k =p. А значит, что k/k^p не конечно-порождена! Победа!
Суммируя всё сказанное выше, мы показали, что H^1_{fl}(k, I) не конечно-порождённая группа. А значит, H^1_{fl}(k, Pic_{X/k}) является нетривиальной группой, как было объяснено выше. То есть Br(X) --> Br(X\otimes_k \bar k) действительно имеет нетривиальное ядро!