Контрпример к обобщению теоремы Лазара.
Теорема: (Lazard) Пусть R (коммутативное) кольцо и M -- плоский R-модуль. Тогда M является фильтрованным копределом свободных модулей конечного ранга.

Доказательство теоремы Лазара не гарантирует, что свободные модули конечного ранга можно выбрать подмодулями модуля М.

Вопрос: Можно ли любой плоский модуль представить как фильтрованный копредел свободных подмодулей конечного ранга.

Похожий вопрос у меня спросил Ярик Хроменков (в более разумной форме). Ниже я напишу несколько очевидных контпримеров к этому вопросу, несколько попыток исправить это утверждение, и контрпримеров к этим исправлениям. По-видимому, никакая форма вопроса выше не имеет положительного ответа.

Контрпример: Достаточно взять R= \Z \oplus \Z и M = \Z \oplus 0. Это проективный R-модуль, который (очевидно) не содержит свободных ненулевых R-подмодулей.

Вопрос 2: Что если M строго плоский модуль?

Контрпример 2: Достаточно взять такое же кольцо R=\Z \oplus \Z и M' = M \oplus R, где M -- модуль из предыдущего контрпримера.


Вопрос 3: Что если требовать представить плоский R-модуль как копредел проективных подмодулей конечного ранга?

Два предыдущих глупых контрпримера не годятся (модули M и M' сами проективны). Но это утверждение всё равно не верно. Я дальше напишу мою интерпретацию примера, который мне рассказал Бхатт.


Пусть S -- произвольное проконечное множества без изолированных точек (например, S=\Z_p). Тогда возьмём в качестве кольца R кольцо С(S, F_2) -- непрерывных функций из S в F_2. А в качестве модуля M -- локалькое кольцо любой точки x\in Spec R. Утверждается, что M плоский R-модуль (очевидно), который не содержит ни одного проективного подмодуля.

Утверждение 1: Имеется естественный гомеоморфизм S ~= |Spec R|.

Действительно, если S -- конечное множество, то утверждение очевидно. Теперь пусть S = lim S_i является представление S как кофильтрованного предела конечных множеств (если S=Z_p, то S_i=Z/p^i Z). Тогда C(S, F_2)= C(lim S_i, F_2)= colim C(S_i, F_2). Значит Spec С(S, F_2)= Spec colim C(S_i, F_2)= lim Spec C(S_i, F_2). Наконец, взятие подлежащего топологического пространства в схемах коммутирует с фильтрованными пределами по системам с аффинными отображениями перехода, поэтому |Spec C(S, F_2)| = lim |Spec C(S_i, F_2)| = lim S_i = S.

Утверждение 2: Кольцо R имеет размерность Крулля 0.

Действительно, |Spec R| ~= S, поэтому там нет никаких специализаций. Поэтому |Spec R| имеет размерность 0. Значит, R имеет круллевскую размерность 0.

Утверждение 3: Для любой точки x\in Spec R, локальное кольцо \O_{X,x} ~= F_2 как абелева группа.

Действительно, кольцо R не имеет нильпотентов. Поэтому его локализация \O_{X,x} не имеет нильпотентов. Более того, \O_{X, x} имеет круллевскую размерность 0 как локализация кольца размерности 0. По определению \O_{X, x} имеет единственный максимальный идеал, он же единственный простой идеал, так как кольцо размерности 0. Значит \m_x = nil(\O_{X,x})= (0) ибо \O_{X,x} не имеет нильпотентов. Ну а значит, что \O_{X,x} имеет единственный простой идеал, который (0), то есть \O_{X,x} есть поле.

Поле вычетов \O_{X,x} является очевидно (из конструкции) F_2, а так как \O_{X,x} само уже поле, то получаем \O_{X, x} ~= F_2 как абелевы группы.



Утверждение 4: \O_{X, x} не содержит ненулевых проективных R-подмодуей конечного ранга.

Действительно, \O_{X,x} как множество состоит из двух элементов, поэтому оно имеет два подмодуля: семя самого и нулевой подмодуль. Поэтому достаточно доказать, что \O_{X, x} не является проективным R-модулей. Но это очевидно, так как Supp \O_{X, x}= x, то есть rk_x \O_{X, x}=1, но rk_y \O_{X,x}=0 для любого y\neq x. Так как ранг проективного модуля конечного ранга локально постоянен получаем противоречие (тут используется, что x не изолированная точка S).

Утверждение 5: \O_{X,x} плоский R-модуль, но не является фильтрованным копределом проективных подмодулей конечного ранга.

Очевидно из всего выше. \O_{X, x} плоский R-модуль, так как локализация R. Но не содержит вообще ненулевых проективных подмодулей.


Замечание Кольцо R не является нётеровым (например, потому что Spec R имеет бесконечное число неприводимых компонент).



Вопрос 4: Существует ли контрпример к Вопросу 3 с нётеровым кольцом R?



Я думаю, что контрпример должен сущестовать. Но не знаю ни одного явного примера.