|
|
Пишет azrt (![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small} azrt)@ 2021-02-23 16:43:00 |
 |
|
 |
|
|
|
|
|
|
 |
|
 |
Эксты в категории коммутативных групповых схем.
У меня с бакалавриата есть травма. Когда я пытался понять какие-либо нетривиальные результаты про эллиптические кривые, там быстро возникали плоские конечные групповые схемы. А понять любые рассуждениями с ними я тогда не был в состоянии: определение точной последовательности очень странное, как проверять на практике непонятно, как опредять эксты тоже понять нельзя, ну и т.д.
Эти вопросы почему-то почти никого рядом со мной тогда не волновали. Они считались второстепенной важности, если не третьестепенной. А где с этим можно разобраться я не знал (да и вряд ли бы смог). Но оказывается эти вопросы действительно требуют повышенной аккуратности.
В чём проблема?
Рассмотрим категорию C коммутативных групповых схем над полем k. Эта категория действительно является абелевой, хотя это и требует нетривиальной науки, чтобы это доказать (почему существуют факторы? Как правильно определять эпиморфизмы?). Но при этом эта категория не содержит достаточного количества ни проективных, ни инъективных объектов. Поэтому не совсем понятно как, например, определять старшие эксты Ext^i(G, H). Обычно предлагается определять по Йонеде, то есть через классы расширений H при помощи G длины i. Я так понимаю, этот подход восходит к Серру и изложен в книжке Оорта "Commutative Group Schemes".
У этого подхода есть несколько очевидных недостатков:
1) Непонятно имеется ли длинная точная последовательность экстов, ассоциированная с короткой точной последовательностью групп. Я не знаю в какой общности это верно.
2) Непонятно как доказать хоть одно нетривиальное утверждение про старшие эксты.
3) Очень плохо обобщается, если база не является полем.
Дальше я эти эксты буду обозначать как Ext^i_Y(G, H).
Решение:
Разумным решением всех этих проблем является рассмотреть вложение категории С в категорию всех пучков абелевых групп на fppf сайте Spec k (ну или произвольной базы S). Заметим, что вложение C --> Ab(Spec k_fppf) является точным вложением, и на самом деле должно быть определением точной структуры на C.
Теперь категория пучков абелевых групп на любом сайте является категорией Гротендика, поэтому имеет достаточно инъективных объектов. Поэтому можно просто определить эксты в объемлющей категории всех пучков абелевых групп. Я буду эту группу экстов называть Ext^i(G, H). Насколько я понимаю, это определение восходит к Гротендику и SGA 3.
Эта конструкция очевидно функториальна по обоим группам и по базе. Очевидно, имеется длинная точная последовательность экстов и вообще всё, что хотелось бы иметь. Единственная проблема, что не очень понятно как доказывать что-либо нетривиальное в таком определении.
Плюс минус как обычно: из точных последовательностей сводя всё к Ext^1 и Hom. Единственное нетривиальное утверждение, которое нужно доказать следующее:
Теорема: Пусть G и H две аффинные коммутативные групповые схемы над полем k. Тогда естественное отображение Ext^1_Y(G, H) --> Ext^1(G, H) изоморфизм.
Реально нужно показать, что любое расширение в fppf-пучках представимо групповой схемой. Это следует из эффективности плоского спуска для аффинных морфизмов и явного описания эпиморфизмов коммутативных групповых схем.
Вопрос: Верно ли что отображение Ext^i_Y(G, H) --> Ext^i(G, H) является изоморфизмов для любого i и любых двух аффинных групповых схем G и H.
Оказывается, что нет! Это совершенно неверно. Дальше я приведу пример, который придумал Брин.
Теорема: (Oort, Commutative Group Schemes, следствие из Corollary 8.7) Пусть G -- конечная групповая схема над алгебраически замкнутым полем k положительной характеристики, тогда Ext^i_Y(G, G_m)=0 для i>0.
Я не вполне понимаю это доказательство. Но чтобы показать, что эксты не совпадают, достаточно построить конечную групповую схему над алгебраически замкнутым полем с Ext^2(G, G_m)\neq 0. Это мы и будем делать.
Утверждение: Пусть k -- алгебраически замкнутое поле характеристики 2, тогда Ext^2(\alpha_2, G_m) не равно нулю.
Замечание: На самом деле контрпример можно построить в любой положительной характеристике.
Далее я попробую объяснить это вычисление. Мне потребуется следующий комплекс для абстрактной коммутативной группы G
A(G)^i = 0 для i \geq 0,
A(G)^{-1} = Z[G] группа порождена элементами вида [x],
A(G)^{-2} = Z[G^2] группа порождена элементами вида [x|y] (опросто обозначение),
A(G)^{-3} = Z[G^3] x Z[G^2] группа порождена элементами вида [x|y|z] и [x||z],
A(G)^{-4} = Z[G^4] x Z[G^3] x Z[G^3] x Z[G] группа порождена элементами виде [x|y|z|w], [x||y|z], [x|y||z] и [x|||y]
с дифференциалами
d^{-1}= 0
d^{-2}([x|y]) = [x]-[x+y] - [y]
d^{-3}([x|y|z]) = [y|z] - [x+y|z] + [x|y+z] - [x|y], d^{-3}([x||y])= [x|y]-[y|x]
d^{-4}([x|y|z|w]) = [y|z|w] - [x+y|z|w] + [x|y+z|w] - [x|y|z+w] + [x|y|z],
d^{-4}([x||y|z]) = [x||y] - [x||y+z] + [x||z] - [x|y|z] + [y|x|z] - [y|z|x]
d^{-4}([x|y||z]) = [x||z] - [x+y||z] + [y||z] + [x|y|z] -[x|z|y] + [z|x|y],
d^{-4}([x|||y]) = - [x||y] - [y||x]
Комбинаторика этого комплекса несколько загадочна для меня, но утверждается (Картан, Эленберг-Маклейн) что когомологии этого комплекса считают стабильные гомологии пространства Эленберга-Маклейна (что тоже пока является загадкой для меня). Мы будем использовать в качестве блэк бокса следующие вычисления (в этих размерностях можно проверить руками):
H^{-1}(A(G)^*) ~= G,
H^{-2}(A(G)^*) ~= 0,
H^{-3}(A(G)^*) ~= G/2G.
Кроме того очевидно, что мы можем написать подобный комплекс для любого пучка абелевых групп F и получить
\H^{-1}(A(F)^*) ~= F, (\H^i означает пучок когомологий комплекса (ker/im))
\H^{-2}(A(F)^*) ~= 0,
\H^{-3}(A(F)^*) ~= F/2F.
Теперь положим G=\alpha_2 и напишем спектралку для экстов
E^{p,q}_2=Ext^p(\H^{-q}(A(G)^*), G_m) => Ext^{p+q}(A(G)^*, G_m).
Заметим, что члены комплекса A(G)^* G_m-ацикличны, то есть Ext^i(A(G)^j, G_m)=0 для i>0. Достаточно доказать, что Ext^i(Z[G^j], G_m)=0 для i>0, но
Ext^i(Z[G^j], G_m)=H^i_{fppf}(G^j, G_m)=H^i_{et}(G^j, G_m) так как G_m гладкая групповая схема.
Но G^j конечная схема с алг. замкнутым полем вычетов, поэтому старшие этальные когомологии любого пучка зануляются. Поэтому Ext^n(A(G)^*, G_m) можно считать как n-ые когомологии комплекса Hom^*(A(G)^*, G_m).
Теперь имеем, что в спектралке
E^{3, 0}_2=0 так как \H^{0}(A(G)^*)=0 по построению,
E^{1,2}_2=Ext^1(\H^{-2}(A(G)^*), G_m)=0 так как \H^{-2}(A(G)^*) из вычисления выше.
E^{0,3}_2=Hom(\H^{-3}(A(G)^*), G_m)=Hom(G/2G, G_m)=Hom(\alpha_2, G_m)=0, так как \alpha_2 унипотентна, а G_m мультипликативного типа.
Кроме того легко видеть, что E^{2, 1}_2 ни с чем не может сократиться, поэтому Ext^2(G, G_m)~= Ext^2(\H^{-1}(A(G)^*), G_m) ~= H^3(Hom^*(A(G)^*, G_m)).
То есть достаточно построить ненулевой элемент в третьих когомологиях комплекса Hom^*(A(G)^*, G_m).
Hom^3(A(G)^*, G_m) = Hom (Z[\alpha_2^3], G_m) \oplus Hom (Z[\alpha_2^3], G_m) = H^0(\alpha_2^3, G_m) \oplus H^0(\alpha_2^3, G_m) = (k[x,y]/(x^2,y^2))^* \oplus (k[x,y,z]/(x^2,y^2, z^2))^*
То есть любой элемент представлен двумя функциями (f,g) и аналогично можно видеть, что дифференциал лежит в
Hom^4(A(G)^*, G_m)=(k[x,y,z,w]/(x^2,y^2,z^2,w^2))^* \oplus (k[x,y,z]/(x^2,y^2,z^2))^* \oplus (k[x,y,z]/(x^2,y^2,z^2))^* \oplus (k[x,y]/(x^2,y^2))^*.
Утверждается, что для любого с\in k, элемент (1, 1+cxy)\in (k[x,y]/(x^2,y^2))^* \oplus (k[x,y,z]/(x^2,y^2, z^2))^* есть коцикл, который не является кограницей. Это формальное вычисление, которое использует только определение комплекса выше. Я покажу только где используется что характеристика 2.
4-ая координата дифференциала d(f,g) есть h(x,y)=g(x,y)^{-1}g(y,x)^{-1}\in (k[x,y]/(x^2, y^2))^*. В нашем случае получается
(1-cxy)(1-cxy)=1-2cxy=1 так как характеристика есть 2!
Таким образом мы построили ненулевые элементы в
Ext^{3}(A(G)^*, G_m)=H^3(Hom^*(A(G)^*, G_m))
и показали, что Ext^{3}(A(G)^*, G_m)=Ext^2(G, G_m). Из чего следует, что Ext^2(G, G_m) не равно нулю для \alpha_2! Комбинируя с результатом Оорта, получаем что
Ext^2(\alpha_2, G_m)\neq Ext^2_Y(\alpha_2, G_m).
У меня с бакалавриата есть травма. Когда я пытался понять какие-либо нетривиальные результаты про эллиптические кривые, там быстро возникали плоские конечные групповые схемы. А понять любые рассуждениями с ними я тогда не был в состоянии: определение точной последовательности очень странное, как проверять на практике непонятно, как опредять эксты тоже понять нельзя, ну и т.д.
Эти вопросы почему-то почти никого рядом со мной тогда не волновали. Они считались второстепенной важности, если не третьестепенной. А где с этим можно разобраться я не знал (да и вряд ли бы смог). Но оказывается эти вопросы действительно требуют повышенной аккуратности.
В чём проблема?
Рассмотрим категорию C коммутативных групповых схем над полем k. Эта категория действительно является абелевой, хотя это и требует нетривиальной науки, чтобы это доказать (почему существуют факторы? Как правильно определять эпиморфизмы?). Но при этом эта категория не содержит достаточного количества ни проективных, ни инъективных объектов. Поэтому не совсем понятно как, например, определять старшие эксты Ext^i(G, H). Обычно предлагается определять по Йонеде, то есть через классы расширений H при помощи G длины i. Я так понимаю, этот подход восходит к Серру и изложен в книжке Оорта "Commutative Group Schemes".
У этого подхода есть несколько очевидных недостатков:
1) Непонятно имеется ли длинная точная последовательность экстов, ассоциированная с короткой точной последовательностью групп. Я не знаю в какой общности это верно.
2) Непонятно как доказать хоть одно нетривиальное утверждение про старшие эксты.
3) Очень плохо обобщается, если база не является полем.
Дальше я эти эксты буду обозначать как Ext^i_Y(G, H).
Решение:
Разумным решением всех этих проблем является рассмотреть вложение категории С в категорию всех пучков абелевых групп на fppf сайте Spec k (ну или произвольной базы S). Заметим, что вложение C --> Ab(Spec k_fppf) является точным вложением, и на самом деле должно быть определением точной структуры на C.
Теперь категория пучков абелевых групп на любом сайте является категорией Гротендика, поэтому имеет достаточно инъективных объектов. Поэтому можно просто определить эксты в объемлющей категории всех пучков абелевых групп. Я буду эту группу экстов называть Ext^i(G, H). Насколько я понимаю, это определение восходит к Гротендику и SGA 3.
Эта конструкция очевидно функториальна по обоим группам и по базе. Очевидно, имеется длинная точная последовательность экстов и вообще всё, что хотелось бы иметь. Единственная проблема, что не очень понятно как доказывать что-либо нетривиальное в таком определении.
Плюс минус как обычно: из точных последовательностей сводя всё к Ext^1 и Hom. Единственное нетривиальное утверждение, которое нужно доказать следующее:
Теорема: Пусть G и H две аффинные коммутативные групповые схемы над полем k. Тогда естественное отображение Ext^1_Y(G, H) --> Ext^1(G, H) изоморфизм.
Реально нужно показать, что любое расширение в fppf-пучках представимо групповой схемой. Это следует из эффективности плоского спуска для аффинных морфизмов и явного описания эпиморфизмов коммутативных групповых схем.
Вопрос: Верно ли что отображение Ext^i_Y(G, H) --> Ext^i(G, H) является изоморфизмов для любого i и любых двух аффинных групповых схем G и H.
Оказывается, что нет! Это совершенно неверно. Дальше я приведу пример, который придумал Брин.
Теорема: (Oort, Commutative Group Schemes, следствие из Corollary 8.7) Пусть G -- конечная групповая схема над алгебраически замкнутым полем k положительной характеристики, тогда Ext^i_Y(G, G_m)=0 для i>0.
Я не вполне понимаю это доказательство. Но чтобы показать, что эксты не совпадают, достаточно построить конечную групповую схему над алгебраически замкнутым полем с Ext^2(G, G_m)\neq 0. Это мы и будем делать.
Утверждение: Пусть k -- алгебраически замкнутое поле характеристики 2, тогда Ext^2(\alpha_2, G_m) не равно нулю.
Замечание: На самом деле контрпример можно построить в любой положительной характеристике.
Далее я попробую объяснить это вычисление. Мне потребуется следующий комплекс для абстрактной коммутативной группы G
A(G)^i = 0 для i \geq 0,
A(G)^{-1} = Z[G] группа порождена элементами вида [x],
A(G)^{-2} = Z[G^2] группа порождена элементами вида [x|y] (опросто обозначение),
A(G)^{-3} = Z[G^3] x Z[G^2] группа порождена элементами вида [x|y|z] и [x||z],
A(G)^{-4} = Z[G^4] x Z[G^3] x Z[G^3] x Z[G] группа порождена элементами виде [x|y|z|w], [x||y|z], [x|y||z] и [x|||y]
с дифференциалами
d^{-1}= 0
d^{-2}([x|y]) = [x]-[x+y] - [y]
d^{-3}([x|y|z]) = [y|z] - [x+y|z] + [x|y+z] - [x|y], d^{-3}([x||y])= [x|y]-[y|x]
d^{-4}([x|y|z|w]) = [y|z|w] - [x+y|z|w] + [x|y+z|w] - [x|y|z+w] + [x|y|z],
d^{-4}([x||y|z]) = [x||y] - [x||y+z] + [x||z] - [x|y|z] + [y|x|z] - [y|z|x]
d^{-4}([x|y||z]) = [x||z] - [x+y||z] + [y||z] + [x|y|z] -[x|z|y] + [z|x|y],
d^{-4}([x|||y]) = - [x||y] - [y||x]
Комбинаторика этого комплекса несколько загадочна для меня, но утверждается (Картан, Эленберг-Маклейн) что когомологии этого комплекса считают стабильные гомологии пространства Эленберга-Маклейна (что тоже пока является загадкой для меня). Мы будем использовать в качестве блэк бокса следующие вычисления (в этих размерностях можно проверить руками):
H^{-1}(A(G)^*) ~= G,
H^{-2}(A(G)^*) ~= 0,
H^{-3}(A(G)^*) ~= G/2G.
Кроме того очевидно, что мы можем написать подобный комплекс для любого пучка абелевых групп F и получить
\H^{-1}(A(F)^*) ~= F, (\H^i означает пучок когомологий комплекса (ker/im))
\H^{-2}(A(F)^*) ~= 0,
\H^{-3}(A(F)^*) ~= F/2F.
Теперь положим G=\alpha_2 и напишем спектралку для экстов
E^{p,q}_2=Ext^p(\H^{-q}(A(G)^*), G_m) => Ext^{p+q}(A(G)^*, G_m).
Заметим, что члены комплекса A(G)^* G_m-ацикличны, то есть Ext^i(A(G)^j, G_m)=0 для i>0. Достаточно доказать, что Ext^i(Z[G^j], G_m)=0 для i>0, но
Ext^i(Z[G^j], G_m)=H^i_{fppf}(G^j, G_m)=H^i_{et}(G^j, G_m) так как G_m гладкая групповая схема.
Но G^j конечная схема с алг. замкнутым полем вычетов, поэтому старшие этальные когомологии любого пучка зануляются. Поэтому Ext^n(A(G)^*, G_m) можно считать как n-ые когомологии комплекса Hom^*(A(G)^*, G_m).
Теперь имеем, что в спектралке
E^{3, 0}_2=0 так как \H^{0}(A(G)^*)=0 по построению,
E^{1,2}_2=Ext^1(\H^{-2}(A(G)^*), G_m)=0 так как \H^{-2}(A(G)^*) из вычисления выше.
E^{0,3}_2=Hom(\H^{-3}(A(G)^*), G_m)=Hom(G/2G, G_m)=Hom(\alpha_2, G_m)=0, так как \alpha_2 унипотентна, а G_m мультипликативного типа.
Кроме того легко видеть, что E^{2, 1}_2 ни с чем не может сократиться, поэтому Ext^2(G, G_m)~= Ext^2(\H^{-1}(A(G)^*), G_m) ~= H^3(Hom^*(A(G)^*, G_m)).
То есть достаточно построить ненулевой элемент в третьих когомологиях комплекса Hom^*(A(G)^*, G_m).
Hom^3(A(G)^*, G_m) = Hom (Z[\alpha_2^3], G_m) \oplus Hom (Z[\alpha_2^3], G_m) = H^0(\alpha_2^3, G_m) \oplus H^0(\alpha_2^3, G_m) = (k[x,y]/(x^2,y^2))^* \oplus (k[x,y,z]/(x^2,y^2, z^2))^*
То есть любой элемент представлен двумя функциями (f,g) и аналогично можно видеть, что дифференциал лежит в
Hom^4(A(G)^*, G_m)=(k[x,y,z,w]/(x^2,y^2,z^2,w^2))^* \oplus (k[x,y,z]/(x^2,y^2,z^2))^* \oplus (k[x,y,z]/(x^2,y^2,z^2))^* \oplus (k[x,y]/(x^2,y^2))^*.
Утверждается, что для любого с\in k, элемент (1, 1+cxy)\in (k[x,y]/(x^2,y^2))^* \oplus (k[x,y,z]/(x^2,y^2, z^2))^* есть коцикл, который не является кограницей. Это формальное вычисление, которое использует только определение комплекса выше. Я покажу только где используется что характеристика 2.
4-ая координата дифференциала d(f,g) есть h(x,y)=g(x,y)^{-1}g(y,x)^{-1}\in (k[x,y]/(x^2, y^2))^*. В нашем случае получается
(1-cxy)(1-cxy)=1-2cxy=1 так как характеристика есть 2!
Таким образом мы построили ненулевые элементы в
Ext^{3}(A(G)^*, G_m)=H^3(Hom^*(A(G)^*, G_m))
и показали, что Ext^{3}(A(G)^*, G_m)=Ext^2(G, G_m). Из чего следует, что Ext^2(G, G_m) не равно нулю для \alpha_2! Комбинируя с результатом Оорта, получаем что
Ext^2(\alpha_2, G_m)\neq Ext^2_Y(\alpha_2, G_m).
