Пример.
Придумал недавно пример связной, отделимой, регулярной схемы размерности 1, но не квазикомпактной. Просто в какой-то момент осознал, что не знаю примеры неквазикомпактных схем кроме тривиальных. Пример очень простой: нужно взять кольцо дискретного нормирования R, например \C[[x]], и склеить бесконечное число копий Spec R по общей точке. R берётся DVR, чтобы общая точка была открыта. Это, наверное, стандартный пример.