Пример непревосходного кольца дискретного нормирования
В ближайшее время я хочу дописать ещё несколько примеров из стандартной теории алгебраических групп, про которые я забыл два предыдущих раза. Кроме того, в моих планах записать несколько контрпримеров к совершенно естественным утверждениям, касающихся адельной топологии на адельных точках многообразий над глобальными полями. Сейчас же я хочу рассказать пример кольца дискретного нормирования, которое не является превосходным кольцом (в смысле Гротендика, cм. https://en.wikipedia.org/wiki/Excellent_ring для определения).

Определение превосходных колец довольно сложное, да и проверка основных свойств требует неплохой техники в коммутативной алгебре, однако они являются довольно простым объектом в управлении. Как только выстроена основная теория превосходных колец (условно EGA IV_2 6.1-7.9), они становятся очень удобным объектом, который можно реально применять в задачах. В некотором смысле они являются кольцами, над которыми 'можно заниматься геометрией'. Хотя я лично с этим утверждением не согласен, если посмотреть на EGA IV_3, EGA IV_4 и доказательства многих базовых свойств этальных когомологий (например, гладкой и собственной замен базы), то можно увидеть, что почти все утверждения в итоге доказываются даже без предположений нётеровости, но тем не менее доказательства часто сводятся к случаю превосходных колец с помощью техник spreading out, которые Гротендик разработал в начале EGA IV_3. На мой взгляд это несколько удивительный приём, и я не знаю никакого идеалогического обоснования почему этот трюк работает практически всегда.

Однако оказывается, что класс этих колец не настолько обширен, как можно было бы думать. И я хочу объяснить, что уже не все DVR являются превосходными. Я не хочу давать строгое определение превосходного кольца, скажу лишь, что в случае когда R есть DVR, то R -- превосходно, если и только если Frac(R) \subset Frac(\hat R) является сепарабельным (как правило, неалгебраическим) расширением полей (тем самым в хар-ке 0 все DVR всё-таки превосходны). Давайте теперь перейдём к примеру.

Рассмотрим локальное кольцо F_p[X]_{(X)} и его пополнение F_p[[X]]. Заметим, что F_p(X) счётно, а F_p((X)) континуально, следовательно, оно не может быть алгебраическим расширением. Выберем элемент T\in F_p[[X]], который неалгебраичен над F_p(X), и обозначим Y:=T^p. Тогда положим L:=F_p(T,Y) -- поле порождённое T и Y, и R:=L\cap F_p[[X]].

Я утверждаю, что R -- DVR с пополнением изоморфным F_p[[X]].

1) R--локальное кольцо с максимальным идеалом (X). Прежде всего заметим, что все элементы вида 1+XF, F\in R, являются обратимыми (так как они обратимы в F_p(X,Y) и F_p[[X]]). Значит идеал (X) лежит в радикале R. Покажем, что (X) является максимальным идеалом, тем самым он автоматически будет единственным максимальным идеалом. Действительно, легко видеть, что (X)F_p[[X]]\cap R=(X)R. Значит R/(X)=F_p[[X]]/X=F_p (строго говоря, нужно ещё проверить сюрьективность, но это очевидно). Значит, X максимален, как следствие, R является локальным кольцом.

2) R размерность хотя бы 1 по Круллю. R-- область целостности, значит (0) является простым идеалом. Следовательно, (0) \subset (X) есть цепочка простых идеалов => dim R>=1.

3) Теорема 11.2. в книжке матсумуры 'Commutative Ring Theory' доказывает, что этих данных в сумме с тем, что \cap_n (X^n)R=0 (очевидное равенство, так как оно верно в F_p[[X]]) хватает, чтобы заключить, что R является кольцом дискретного нормирования (строго говоря, Матсумура предполагает нётеровость R, но единственное свойство, которое он использует в доказательстве -- это что пересечение степеней максимального идеала есть нулевой идеал). В частности, заключаем, что R является нётеровым.

Заметим, что мы доказали чуть большее, а именно, что ограничение X-адической топологии с F_p[[X]] на R совпадает с X-адической топологией на R. Это гарантирует нам, что инъективное отображение R\to F_p[[X]] индуцирует инъективное отображение \hat R \to F_p[[X]] (я тут пользуюсь, что F_p[[X]] полно, то есть равно своему пополнению). С другой стороны у нас есть вложение F_p[X]_{(X)} \to R, пополнив это отображение и, взяв композицию с предыдущим, получаем отображения

F_p[[X]] \to \hat R \to F_p[[X]],

композиция которых есть тождественный морфизм. Откуда заключаем сюрьективность отображения \hat R \to F_p[[X]]. Таким образом, имеем Frac(\hat R)=F_p((X)). В итоге мы получаем, что T\in Frac(\hat R) (определение T в самом начале доказательства), но T\notin Frac(R) (так как T не лежит в F_p(X,Y)). По построению T^p=Y\in R. Следовательно расширение Frac(R) \subset Frac(\hat R) не может быть сепарабельным расширением. То есть R не является превосходным кольцом.