|
|
Пишет azrt (![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small} azrt)@ 2017-10-28 00:07:00 |
 |
|
 |
|
|
|
|
|
|
 |
|
 |
Пример линейной алгебраической группы с бесконечной группой Пикара
В книжке 'N'eron Models' Рэйно периодически довольно небрежно пишет, что можно предполагать базовое поле алгебраически замкнутым. Почти всегда это лёгкое упражнение на плоский спуск/спуск Галуа. Но в одном месте я никак не мог понять как строго доказать эту редукцию, и, более того, я обнаружил удивительный эффект, пытаясь разобраться с тем как группа Пикара взаимодействует с расширениями полей.
Часть 1: Стандартные Результаты
Существует классический результат, что если X -- полное, геометрические целое многообразие, то Pic(X) всегда вкладывается в инварианты группы Галуа Pic(X\otimes k_{sep})^{Gal(k_s/k)}. Доказательство использует три важные факта:
1) Спектральную последовательность Хохшильда--Серра для этальных когомологий и пучка G_m.
А именно, H^i(Gal(k_{sep}/k),H^j(X\otimes k_{sep}, G_m)) => H^{i+j}(X, G_m).
2) Теорема Гильберта-90 о занулении когомологий H^1(Gal(k_{sep}/k), G_m)=0.
3) Утверждение о том, что на полном, геометрически целом многообразии нет обратимых функций кроме констант. Выражаясь точнее, что Г(X, \O_X^*)=k^*.
Если предполагать ещё существованиe рациональной k-точки на X, то есть что X(k) непусто, то можно заключить, что инъекция групп Pic(X) \to Pic(X\otimes k_{sep})^{Gal(k_s/k)} на самом деле равенство. Это довольно просто, и доказано, например, в FGA Explained в главе про функторы Пикара. Пусть есть сечение s:Spec k \to X, тогда идея в том, чтобы рассматривать линейные расслоения L с *фиксированным* изоморфизмом s^*L\cong \O_{Spec k}. Такая пара уже не обладает автоморфизмами, и это позволяет воспользоваться плоским спуском, чтобы спускать Gal-инвариантые расслоения сверху вниз.
Часть 2: Чего Хотелось
Мне было интересно понять насколько часто Pic(X) вкладывается в Pic(X\otimes \bar k). Рассуждения выше показывают, что это верно в случае собственного (геометрически целого) X и совершенного поля k. Однако меня больше интересовал случай X -- (связной, гладкой) линейной алгебраческой группы и K-- поля частных глобального поля, которое уже никогда не является совершенным в характеристике p (Оно всегда есть конечное расширение F_q[T]). И как оказалось, при таких предположениях условие на вложение групп Пикара не обязательно верно!
Есть общий факт (логически он нам не будет нужен, но он показывает насколько всё становится плохо над несовершенными полями), который говорит, что для (связной гладкой) линейной алгебраической группы G над *совершенным полем* Pic(G) конечен. Ключевым фактом при доказательстве является рациональность G_{k_{sep}} для любой связной гладкое линейной алгебраической группы G.
Сейчас я приведу пример связной гладкой алгебраической группы U над произвольным несовершенным сепарабельно-замкнутым полем характеристики не 2 (на самом деле пример можно построить над любым несовершенным полем), такой что Pic(U) бесконечен, но Pic(U\otimes \bar k)=0. Более того, U\otimes \bar k= G_a.
Часть 3: Контрпример
Пусть k -- любое сепарабельно-замкнутое несовершенное поле (например, F_p(T)_{sep}), и G -- линейная группа, определённая уравнением y^p=x-ax^p в A^2, где a\in k -- k^p. В этом посте https://lj.rossia.org/users/azrt/7510.h
Прежде всего, из явной формулы для C (V(Y^p+aX^p-XZ^{p-1}) \subset P^2_k) легко видеть, что C является геометрически целой схемой, и она по определению проективная, как замкнутая подсхема проективной схемы. Из этого следует, что Pic_{C/k} представим схемой. Общий факт гласит, что группа Пикара кривой всегда гладкая, когда представима. Это следует из инфинитезимального критерия гладкости, за деталями см. главу 8 книжки 'N'eron Models'. И кроме того, Pic^0_{C/k} имеет размерности H^1(C, \O_X)=k^{(p-1)(p-2)/2}>0. То есть Pic^0_{C/k} является гладкой групповой схемой размерности (p-1)(p-2)/2>0 при p>2.
Теперь мы хотим вычислить Pic(U) через Pic(C). Прежде всего, обозначим точку на бесконечности за c \in C--U. Мы имеем точную последовательность вырезания
Z[c] \to Pic(C) \to Pic(U) \to 0.
Заметим, что deg([c])=p по построению, поэтому отображение ограничения Pic^0(С) \to Pic(U) инъективно.
Теперь вспомним, что на проективной кривой С мы имеем отображение степени deg:Pic(C) \to \Z, а так как Pic(U)=Pic(C)/Z[c] и deg([c])=p мы получаем корректно-определённый морфизм deg:Pic(U) \to Z/p. Более, того это сюрьективный морфизм в силу того, что мы имеем точку (0,0)=e\in U(k) и deg(e)=1. Суммируя, мы имеем следующую тройку морфизмов:
0 \to Pic^0_{C/k}(k) \to Pic(U) \to Z/pZ \to 0.
Я утверждаю, что эта тройка точная. Действительно, мы уже доказали точность в первом члене и в третьем. Осталось показать точность в среднем. Так как все расслоения в Pic^0_{C/k}(k) по определению имеют степень нуль, то композиция этих двух морфизмов нулевая. Осталось проверить, что ядро второго морфизма лежит в образе Pic^0_{C/k}(k). Для этого мы отождествим линейные расслоения с классами эквивалентности дивизоров Вейля. Выберем L=\O_U(D) в ядре deg: Pic(U) \to Z/pZ, другими словами, deg(L)=deg(D)=pk делится на p. Тогда \O_C(D-k*[c]) является дивизором степени 0 на C, и его ограничение на U совпадает с \O_U(D). Следовательно, это короткая последователь точна в среднем члене, а значит и вообще точна.
Заметим, что мы уже доказали, что Pic(U) ненулевая группа, так как она сюрьективно отображается в Z/pZ. Более того, из точной последовательности следует, что Pic(U) конечна, если и только если Pic^0_{C/k}(k) есть конечная группа. Но Pic^0_{C/k} является гладкой(!) схемой, а значит k-точки Pic^0_{C/k}(k) плотны в Pic^0_{C/k} в силу сепарабельной замкнутости k. А значит это множество не может быть конечно, так как размерность Pic^0_{C/k} равна (p-1)(p-2)/2>0 при p>2. Следовательно, Pic(U) так же не является конечной группы.
Собрав всё воедино, мы построили пример гладкой, геометрически целой схемы U над несовершенным полем (а на самом деле такой пример существует над любым несепарабельным полем), такой что Pic(U) \to Pic(U\otimes \bar k) не инъективно, и даже не имеет конечного ядра. Кроме того, мы построили пример гладкой связной линейной алгебраической группы U над несовершенным полем, такой что Pic(U) не конечен.
P.S. Интересный вопрос в том, чтобы как-то описать структуры гладкой группы Pic^0_{C/k}. На самом деле оказывается, что это всегда коммутативная k-wound унипотентная группа размерности (p-1)(p-2)/2. Добавлю это чуть потом.
В книжке 'N'eron Models' Рэйно периодически довольно небрежно пишет, что можно предполагать базовое поле алгебраически замкнутым. Почти всегда это лёгкое упражнение на плоский спуск/спуск Галуа. Но в одном месте я никак не мог понять как строго доказать эту редукцию, и, более того, я обнаружил удивительный эффект, пытаясь разобраться с тем как группа Пикара взаимодействует с расширениями полей.
Часть 1: Стандартные Результаты
Существует классический результат, что если X -- полное, геометрические целое многообразие, то Pic(X) всегда вкладывается в инварианты группы Галуа Pic(X\otimes k_{sep})^{Gal(k_s/k)}. Доказательство использует три важные факта:
1) Спектральную последовательность Хохшильда--Серра для этальных когомологий и пучка G_m.
А именно, H^i(Gal(k_{sep}/k),H^j(X\otimes k_{sep}, G_m)) => H^{i+j}(X, G_m).
2) Теорема Гильберта-90 о занулении когомологий H^1(Gal(k_{sep}/k), G_m)=0.
3) Утверждение о том, что на полном, геометрически целом многообразии нет обратимых функций кроме констант. Выражаясь точнее, что Г(X, \O_X^*)=k^*.
Если предполагать ещё существованиe рациональной k-точки на X, то есть что X(k) непусто, то можно заключить, что инъекция групп Pic(X) \to Pic(X\otimes k_{sep})^{Gal(k_s/k)} на самом деле равенство. Это довольно просто, и доказано, например, в FGA Explained в главе про функторы Пикара. Пусть есть сечение s:Spec k \to X, тогда идея в том, чтобы рассматривать линейные расслоения L с *фиксированным* изоморфизмом s^*L\cong \O_{Spec k}. Такая пара уже не обладает автоморфизмами, и это позволяет воспользоваться плоским спуском, чтобы спускать Gal-инвариантые расслоения сверху вниз.
Часть 2: Чего Хотелось
Мне было интересно понять насколько часто Pic(X) вкладывается в Pic(X\otimes \bar k). Рассуждения выше показывают, что это верно в случае собственного (геометрически целого) X и совершенного поля k. Однако меня больше интересовал случай X -- (связной, гладкой) линейной алгебраческой группы и K-- поля частных глобального поля, которое уже никогда не является совершенным в характеристике p (Оно всегда есть конечное расширение F_q[T]). И как оказалось, при таких предположениях условие на вложение групп Пикара не обязательно верно!
Есть общий факт (логически он нам не будет нужен, но он показывает насколько всё становится плохо над несовершенными полями), который говорит, что для (связной гладкой) линейной алгебраической группы G над *совершенным полем* Pic(G) конечен. Ключевым фактом при доказательстве является рациональность G_{k_{sep}} для любой связной гладкое линейной алгебраической группы G.
Сейчас я приведу пример связной гладкой алгебраической группы U над произвольным несовершенным сепарабельно-замкнутым полем характеристики не 2 (на самом деле пример можно построить над любым несовершенным полем), такой что Pic(U) бесконечен, но Pic(U\otimes \bar k)=0. Более того, U\otimes \bar k= G_a.
Часть 3: Контрпример
Пусть k -- любое сепарабельно-замкнутое несовершенное поле (например, F_p(T)_{sep}), и G -- линейная группа, определённая уравнением y^p=x-ax^p в A^2, где a\in k -- k^p. В этом посте https://lj.rossia.org/users/azrt/7510.h
Прежде всего, из явной формулы для C (V(Y^p+aX^p-XZ^{p-1}) \subset P^2_k) легко видеть, что C является геометрически целой схемой, и она по определению проективная, как замкнутая подсхема проективной схемы. Из этого следует, что Pic_{C/k} представим схемой. Общий факт гласит, что группа Пикара кривой всегда гладкая, когда представима. Это следует из инфинитезимального критерия гладкости, за деталями см. главу 8 книжки 'N'eron Models'. И кроме того, Pic^0_{C/k} имеет размерности H^1(C, \O_X)=k^{(p-1)(p-2)/2}>0. То есть Pic^0_{C/k} является гладкой групповой схемой размерности (p-1)(p-2)/2>0 при p>2.
Теперь мы хотим вычислить Pic(U) через Pic(C). Прежде всего, обозначим точку на бесконечности за c \in C--U. Мы имеем точную последовательность вырезания
Z[c] \to Pic(C) \to Pic(U) \to 0.
Заметим, что deg([c])=p по построению, поэтому отображение ограничения Pic^0(С) \to Pic(U) инъективно.
Теперь вспомним, что на проективной кривой С мы имеем отображение степени deg:Pic(C) \to \Z, а так как Pic(U)=Pic(C)/Z[c] и deg([c])=p мы получаем корректно-определённый морфизм deg:Pic(U) \to Z/p. Более, того это сюрьективный морфизм в силу того, что мы имеем точку (0,0)=e\in U(k) и deg(e)=1. Суммируя, мы имеем следующую тройку морфизмов:
0 \to Pic^0_{C/k}(k) \to Pic(U) \to Z/pZ \to 0.
Я утверждаю, что эта тройка точная. Действительно, мы уже доказали точность в первом члене и в третьем. Осталось показать точность в среднем. Так как все расслоения в Pic^0_{C/k}(k) по определению имеют степень нуль, то композиция этих двух морфизмов нулевая. Осталось проверить, что ядро второго морфизма лежит в образе Pic^0_{C/k}(k). Для этого мы отождествим линейные расслоения с классами эквивалентности дивизоров Вейля. Выберем L=\O_U(D) в ядре deg: Pic(U) \to Z/pZ, другими словами, deg(L)=deg(D)=pk делится на p. Тогда \O_C(D-k*[c]) является дивизором степени 0 на C, и его ограничение на U совпадает с \O_U(D). Следовательно, это короткая последователь точна в среднем члене, а значит и вообще точна.
Заметим, что мы уже доказали, что Pic(U) ненулевая группа, так как она сюрьективно отображается в Z/pZ. Более того, из точной последовательности следует, что Pic(U) конечна, если и только если Pic^0_{C/k}(k) есть конечная группа. Но Pic^0_{C/k} является гладкой(!) схемой, а значит k-точки Pic^0_{C/k}(k) плотны в Pic^0_{C/k} в силу сепарабельной замкнутости k. А значит это множество не может быть конечно, так как размерность Pic^0_{C/k} равна (p-1)(p-2)/2>0 при p>2. Следовательно, Pic(U) так же не является конечной группы.
Собрав всё воедино, мы построили пример гладкой, геометрически целой схемы U над несовершенным полем (а на самом деле такой пример существует над любым несепарабельным полем), такой что Pic(U) \to Pic(U\otimes \bar k) не инъективно, и даже не имеет конечного ядра. Кроме того, мы построили пример гладкой связной линейной алгебраической группы U над несовершенным полем, такой что Pic(U) не конечен.
P.S. Интересный вопрос в том, чтобы как-то описать структуры гладкой группы Pic^0_{C/k}. На самом деле оказывается, что это всегда коммутативная k-wound унипотентная группа размерности (p-1)(p-2)/2. Добавлю это чуть потом.
