Н.В.Чистяков. Что меряет акселерометр

Необходимое введение

Для многих читателей вопрос "Что меряет акселерометр" может показаться смешным, а излагаемые в этой заметке мысли - элементарными. Тем не менее, я счёл своим долгом написать этот текст, чтобы предостеречь начинающих ДПЛАстроителей от бесплодных трудов и материальных потерь в виде разбившихся летательных аппаратов.

Дело в том, что многие люди, даже имеющие необходимое физическое образование, не дают себе труда задуматься над некоторыми основами механики Ньютона, а идут на поводу у обыденных представлений. Дополнительную дезинформирующую роль играет само название обсуждаемого прибора, поскольку "акселерометр"(лат) - это  "измеритель ускорения" (рус) .

Соблазн заключается в том , что с помощью акселерометра можно измерять наклон основания, на котором он установлен. Тремя акселерометрами можно заменить отвес. Бойкая мысль сразу же подсказывает, что акселерометрами можно измерять крен и тангаж летательного аппарата. При нынешней доступности микроэлектроники ничего не стоит на основе микромеханических акселерометров и процессора с АЦП смонтировать устройство, которое будет измерять крен и тангаж. То же устройство нетрудно запрограммировать так, чтобы использовать полученные данные для отклонения рулей летательного аппарата (элеронов и руля высоты) с целью удержания заданных (как правило, нулевых) значений крена и тангажа. Если схема выполнена правильно, и в программе нет ошибок, то после сборки такого устройства автор идеи убеждается, что летательный аппарат на стенде ведёт себя правильно, то есть при наклоне по крену и тангажу послушно совершает движения рулями, "препятствующие" наклону.

Разочарование наступает позже, когда незадачливый инженер собирает обломки летательного аппарата, управление которым он доверил  своему устройству на основе акселерометров. И это разочарование неизбежно, поскольку причина катастрофы фундаментальна.

Ещё раз извинившись перед читателями за изложение общеизвестных элементарных  истин, приступим к теории вопроса.

Кроме силы тяжести

Забегая вперёд, сразу приведём строгую формулировку ответа на вопрос "Что меряет акселерометр":

"Акселерометр меряет проекцию (на свою ось чувствительности) суммы всех сил,  приложенных к его корпусу, кроме силы тяжести".

Из этой формулировки уже понятно, что если она верна, то использовать акселерометр в качестве измерителя наклона в общем случае нельзя, так как акселерометр не меряет именно искомую составляющую силы тяжести. То, что акселерометры применяют-таки для измерения наклона, объясняется условиями, в которых это делают, а именно при неподвижном корпусе акселерометра, когда сила, приложенная к корпусу (реакция опоры или подвеса) равна по модулю силе тяжести, действующей на акселерометр, и направлена противоположно ей.

Для доказательства формулировки рассмотрим простую модель акселерометра рис.1. Как бы ни был устроен акселерометр, по своей сути - это просто свободно двигающийся вдоль определённого направления грузик на пружинке, конец которой прикреплён к гвоздику в корпусе акселерометра. "Определённое направление" и есть ось чувствительности акселерометра. Хотя это и несущественно для дальнейшего изложения, отметим, что при размещении акселерометра на летательном аппарате можно полагать, что корпусом акселерометра является весь летательный аппарат.

Показания акселерометра - это смещение грузика относительно своего нулевого положения, в котором пружина ни сжата, ни натянута. Предполагая, что смещение грузика от нулевого положения пропорционально силе T натяжения (сжатия) пружинки, можно считать, что акселерометр меряет силу натяжения пружинки. Сделанное предположение - это всего лишь закон Гука.

Теперь немного формул. Пользуемся только вторым законом Ньютона, который гласит, что ускорение тела пропорционально сумме приложенных к телу сил и обратно пропорционально массе тела. Пусть на корпус акселерометра массой M и находящийся внутри корпуса грузик массой m  вдоль оси чувствительности акселерометра действует составляющая силы тяжести G_{M+m}, а сумма остальных сил, действующих вдоль оси чувствительности, равна F. Тогда справедливо уравнение второго закона Ньютона:

(M+m)*a=G_{M+m}+F,               (1)

где a - составляющая ускорения акселерометра вдоль его оси чувствительности,

{M+m} - индекс, указывающий, что сила тяжести G_{M+m} действует на суммарную массу корпуса акселерометра M и грузика m.

Запишем теперь уравнение второго закона Ньютона для грузика (вдоль оси чувствительности акселерометра), полагая, что колебания грузика отсутствуют, и грузик имеет то же ускорение a, что и корпус акселерометра:

m*a=G_{m}+T,                              (2)

где - G_{m} - составляющая силы тяжести вдоль оси чувствительности, действующая на грузик массой m, в T - сила натяжения (сжатия) пружинки.

Исключая из уравнений (1) и (2) ускорение a, получим:

(M+m)*(G_{m}+T)/m=G_{M+m}+F.

Выразим явно силу натяжения(сжатия) пружинки, которая и является показаниями акселерометра:

T=m*(G_{M+m}/(M+m)+F/(M+m)-G_{m}/m).

Поскольку сила тяжести пропорциональна массе предмета, на который она действует, то:

G_{M+m}/(M+m)=G_{m}/m=g_ax,

где g_ax - составляющая ускорения силы тяжести вдоль оси чувствительности акселерометра.

Слагаемые, связанные с силой тяжести, взаимно уничтожаются, и окончательное выражение для показаний акселерометра приобретает вид:

T=F*m/(M+m).

Таким образом, формулировка 

"Акселерометр меряет проекцию (на свою ось чувствительности) суммы всех сил,  приложенных к его корпусу, кроме силы тяжести

верна.

Физический смысл

Почему акселерометр не меряет силу тяжести? Он её не меряет, потому что гравитационная и инертная масса эквивалентны друг другу. Это фундаментальное свойство мира, в котором мы живём. Почему это так, наверное, никто не знает. Однако это так. Именно поэтому прав Галилей, предположивший и экспериментально показавший, что пушечное ядро и мушкетная пуля падают с Пизанской башни за одинаковое время. А поскольку Галилей прав, то  в наших выкладках уничтожились члены, содержащие отношения силы тяжести к массе.  Это отношение одинаково для всех предметов, и для всего летательного аппарата, и для крошечного грузика акселерометра, и это отношение называется ускорением силы тяжести.

Как быть и что делать, будет описано в других заметках.