Да, действительно, произведение arctg(x)*sin(1/x) -->0 при x --> 0.
Но КОРЕНЬ КВАДРАТНЫЙ из arctg(x)*sin(1/x) не имеет предела в классическом смысле при x-->0, потому что ни в какой сколь угодно малой окрестности нуля не существует сплошной области определения этой функции. А классическое определение предела начинается словами: "Пусть в некоторой окрестности x0 определена функция...!

Эх, молодёжь... Я уже забыл матанализ, когда Вы ещё и не родились:)

{+}

Я уже забыл матанализ

Это и видно :-))

Функция определена в окресности 0, я не понимаю в чем могут возникнуть тут проблемы. Существование предела можно доказать через эпсилон-дельту формализм, если вам так хочется :-))