Настроение:

anxious

Голоморфная внешняя кривизна кривых на K3-поверхностях
Деформации кривой, сохраняющие периоды двух дифференциалов -- это обобщение деформации кривой на абелевой поверхности, все локальные формулы там такие же. А что управляет деформациями кривой на K3-поверхности? Пусть X K3-поверхность, и C \subset X кривая. Имеем точную тройку 0 \to T_C \to E = T_X|_C \to K_C, где вторая стрелка задаётся голоморфной симплектической формой, и соответственно точную последовательность когомологий H^0(E) \to H^0(K_C) \to H^1(T_C) \to H^1(E) \to H^1(K_C) \to 0. Связывающий гомоморфизм берёт 1-форму, и сопоставляет ей деформацию в направлении соответствующего сечения нормального расслоения. Если в этом направлении голоморфный аналог теоремы Вайнштейна имеет место в первом порядке, эта деформация тривиальна, и кривая смещается без деформации. В противном случае никакое голоморфное нормальное поле не продолжается до голоморфного векторного поля, определённого вдоль кривой, и H^0(E) = 0. Заметим, что задать расширение T \to E \to K это в ту же цену, что задать расширение T \o K^{-1} \to E \o K^{-1} \to O, иными словами класс в H^1(T^2), или же функционал на пространстве кубических дифференциалов H^0(K^3). Где вообще в природе встречаются кубические дифференциалы? Кроме специальных кэлеровых структур в смысле Фрида, кажется, нигде. Этот кубический кодифференциал \Xi, понятно, задаёт связующий гомоморфизм как \alpha \mapsto \Xi(\alpha \o ?). Наверное это все знают, но мне всё равно занимательно, типа, кривая на K3-поверхности задаёт не только линейную систему (локус в пространстве модулей), но и сечение некоторого расслоения ранга 5g-5 над ним.

В случае кривых рода два получается, кстати, что H^0(K^3) не может порождаться симметрическим кубом H^0(K), ибо имеет размерность пять, а симметрический куб -- четыре. Но отсюда следует, что если отображение Sym^3 H^0(K) \to H^0(K^3) инъективно, то его образ гиперплоскость, а это задаёт, с точностью до пропорциональности, функционал, то есть расширение T \to E \to K. Или же его можно трактовать как линейное расслоение на пространстве модулей кривых рода два; чему оно соответствует? вдруг нулевые уровни его сечений это в точности дивизоры кривых рода два, лежащих на данной фиксированной K3? вопросов больше, чем ответов.