Настроение:

lethargic

Теорема Гаупта-Каповича для эллиптических классов
На сфере с ручками у эллиптического класса когомологий -- то есть такого, что интегралы его по всевозможным контурам составляют решётку ранга два в \C -- имеется индекс. Капович определяет его как отношение эрмитовой длины этого класса к кообъёму решётки его периодов. Это выражение инвариантно при умножении на число, то есть зависит только от натянутой на него комплексной прямой. В терминах соответствующего вещественного подпространства с комплексной структурой эллиптичность означает, что это подпространство порождено векторами решётки. А у двумерной подрешётки в Z^{2g} со стандратной симплектической формой тоже есть свой инвариант: это определитель, то есть наибольшее целое число, которому кратно значение \omega(x, y) на любой паре векторов x, y из этой подрешётки. Написав их вещественные и мнимые части, легко видеть, что определитель симплектической подрешётки равен индексу прямой, которая её порождает. Группа Sp(2g, Z) действует транзитивно на подрешётках ранга два с данным определителем; более того, если реализуется абелевым дифференциалом какая-то ходжева прямая в комплексификации данной подрешётки ранга два, то реализуются и все остальные: реализуемость даёт отображение в эллиптическую кривую, то есть ветвящееся накрытие, а потом выбирая другую комплексную структуру на кривой и сохраняя точки ветвления, мы получим все остальные прямые. Таким образом, определитель подрешётки, сиречь индекс класса когомологий, есть единственный инвариант реализуемости. Тем самым, задача о реализуемости эллиптического класса индекса d на кривой рода g сводится к топологической задаче о существовании d-листного разветвлённого накрытия над двумерным тором, род накрывающего пространства которого равняется g. Ну а это уже не бог весть что такое; так, для d = 2 реализуется что угодно (нужно взять 2g-2 точки ветвления), а дальше как-нибудь попортить это накрытие, пользуясь тем, что тор накрывает себяже сколько угодно раз.

Стало быть, чтобы решить задачу Каповича для эллиптической пары, нужно для начала установить алгебраические инварианты симплектических подрешёток ранга четыре в стандартном симплектическом Z^{2g}. Это всё должно быть в литературе XIX века, но где её искать.