крест и радуга

SU(3) и G_2
Сподобился наконец-то сесть и руками написать 3-формы, про которые я писал в предыдущем посте про формы, и обнаружил нечто странное.

В предыдущем посте происходило следующее. На тотальном пространстве кокасательного расслоения есть форма \lambda, которая задаётся как \lambda_{\alpha}(v) = \alpha(d\pi(v)), где \alpha -- 1-ковектор, v -- касательный вектор в точке \alpha к тотальному пространству, а \pi -- проекция. Если выбрать какие-то координаты на базе, то есть локальную плоскую связность, то есть расщепление T_{\alpha}(T^*X) = V \oplus V^* (где V = T_{\pi(\alpha)}X), то её дифференциал d\lambda запишется в них как (d\lambda)(x + \xi, y + \eta) = \xi(y) - \eta(x) (знак вроде правильный). Греческими буквами, как обычно, я обозначаю 1-формы, а латинскими -- вектора.

Давайте напишем ту же самую формулу для внешнего квадрата кокасательного расслоения: \lambda_{\alpha}(u,v) = \alpha(d\pi(u), d\pi(v)). В локальных координатах каждое касательное пространство к тотальному пространству расщепится как V \oplus \Lambda^2(V^*), а на таком пространстве есть 3-форма

\mu(x + \xi, y + \eta, z + \zeta) = \xi(y, z) + \eta(z, x) + \zeta(x, y),

и именно так и выглядит в таких координатах дифференциал формы \lambda.

Сейчас мне придётся работать в базисе, потому что я не понимаю вообще, что происходит.

Пусть \dim V = 3. Выберемте какой-нибудь базис x, y, z, и пусть форма объёма \nu определена тем условием, что \nu(x, y, z) = 1. Тогда сумму V \oplus \Lambda^2(V^*) можно рассмотреть как комплексное пространство, определив оператор комплексной структуры условием I(v) = \iota_v(\nu). Поскольку мы выбрали базис в V, на комплексном векторном пространстве (V \oplus \Lambda^2(V^*), I) появляется голоморфная форма объёма \Omega. Прямое вычисление показывает, что

\Im(\Omega) = -\mu + \xi \wedge \eta \wedge \zeta,

где \xi, \eta, \zeta -- 1-формы на V \oplus \Lambda^2(V^*), равные единице на базисных векторах \iota_x(\nu), \iota_y(\nu), \iota_z(\nu) соответственно, и нулевые на всех других базисных векторах.

Пусть \dim U = 4. Выберемте какой-нибудь базис x, y, z, t, и на этот раз вместо \Lambda^2(U^*) ограничимся подпространством \Lambda^+ форм, самодвойственных в метрике, в которой этот базис ортогонален, то есть \Lambda^+ = \span(\alpha, \beta, \gamma), где \alpha = -x^* \wedge y^* - z^* \wedge t^*, \beta = -x^* \wedge z^* + y^* \wedge t^*, \gamma = x^* \wedge t^* + y^* \wedge z^*. Тогда можно определить 3-форму

\rho = -\mu + \alpha^* \wedge \beta^* \wedge \gamma^*,

и это будет в точности стандартная 3-форма со стабилизатором \G_2, причём U \subset U \oplus \Lambda^+ будет коассоциативным подпространством, а \Lambda^+ -- перпендикулярным к нему ассоциативным.

Связь между \SU(3) и \G_2 общеизвестна, но что формы, которые ими стабилизируются, можно получить не друг из дружки, а униформным путём, для меня несколько неожиданно. Кроме того, мне не очень понятно, как априори понять, что к той 3-форме надо приплюсовывать форму объёма на \Lambda^2 (соотв. \Lambda^+). Это меня очень смущает -- форма \mu не зависит от выбора базиса, а получающиеся формы, стабилизируемые \SU(3) (соотв. \G_2), зависят, причём количество возможных вариантов гораздо больше, чем одномерное пространство (а форм объёма -- одномерное пространство). То есть я фиксирую конечно разложение в пару лагранжевых подпространств (соотв. разложение в коассоциативное и ассоциативное подпространства), но всё равно кажется, что что-то не то.

Что это могло бы означать в геометрии? Надо понять, что такое форма объёма на \Lambda^2(V^*) (соотв. {\Lambda^+}^*). В первом случае это понятно что такое -- \Lambda^3(\Lambda^2(V^*))^* = \Lambda^3(V \o K_V)^* = \Lambda^3(V^*) \o K_V^{-3} = K_V^{-2}, где K_V = \Lambda^3(V^*). Тривиализация линейного пространства K_V^{-2} -- это то же самое, что тривиализация K_V, определённая с точностью до знака, а поскольку всё, конечно, ориентированно, то знака никакого не будет -- то есть нам нужна форма объёма. Итак, если есть трёхмерное многообразие X с формой объёма, то на тотальном пространстве \Lambda^2(T^*X) (что в силу наличия формы объёма есть то же самое, что TX) имеется каноническая 3-форма, которая устроена как мнимая часть голоморфной формы объёма. Можно пытаться искать комплексные структуры, для которых это будет действительно мнимая часть голоморфной формы объёма. Такая комплексная структура будет определять связность в TX \to X (поворотом вертикального подрасслоения на 90 градусов), но не как в векторном расслоении, а в расслоении на аффинные пространства (в связи с тем, что наша 3-форма была послойно трансляционно инвариантна). Наверняка это что-то классическое и уже было сделано, но я даже не знаю, по каким ключевым словам можно искать такой идиотизм.

Ну и -- кто о чём, а вшивый о бане -- на пространстве узлов в трёхмерном многообразии с формой объёма есть симплектическая форма; наверняка она тут при чём-то могла бы быть.

Что такое \Lambda^3(\Lambda^+)^*, уже не очень понятно (хотя бы потому что для того, чтобы определить \Lambda^+, нужна конформно евклидова структура на U), но понять, какому геометрическому данному соответствует форма объёма на нём, можно при помощи хитрости. Выберем базис \alpha, \beta, \gamma в \Lambda^+, который был бы единичным в данной форме объёма, и определим отображение U \to \Lambda^3(U^*) как u \mapsto \iota_u(\alpha) \wedge \iota_u(\beta) \wedge \iota_u(\gamma). Вроде как от выбора базиса, при условии единичности, оно не зависит. В координатах на U легко проверить, что это изоморфизм. При этом каждый вектор переходит в 3-форму, у которой он лежит в ядре, то есть это отображение -- подстановка в какую-то форму объёма. Обратно, по форме объёма на U строится форма объёма на любом положительно определённом \Lambda^+ \subset \Lambda^2(U^*), потому что выбор формы объёма даёт псевдоевклидову метрику сигнатуры (3, 3) на \Lambda^+(U^*).

Итак, если Y -- четырёхмерное многообразие с формой объёма \nu, а F \subset \Lambda^2(T^*Y) -- максимальное подрасслоение такое, что форма (\alpha, \beta) = (\alpha \wedge \beta) / \nu на нём положительно определена в каждой точке, то на тотальном пространстве F есть каноническая 3-форма, у которой в каждой точке стабилизатор \G_2. Если бы существовала связность на тотальном пространстве F, относительно которой эта форма была бы параллельна, то это была бы \G_2-структура. В принципе кажется, что шансов мало, но мы ведь можем колебать F как угодно, и какую-то свободу это даёт. Можно было бы смотреть, что происходит при устремлении F к полуопределённому подрасслоению, и т. д. Кажется, это всё должно быть написано или подразумеваться общеизвестным в статье http://front.math.ucdavis.edu/1401.5462, но я не смог её прочитать меньше, чем за минуту.

А, ну и чисто линейно-алгебраический вопрос интересен -- 3-форму на V \oplus \Lambda^2(V^*) можно написать для V любой размерности, так можно ли получить что-нибудь линейно-алгебраически интересное в больших размерностях? Возможные голономии запрещает теорема Берже, ну так и пофигу, хотя бы и локально симметрическое. И ещё с линейно-алгебраической точки зрения непонятно, почему в размерности 4 надо брать не всё \Lambda^2, а только его половину. Можно было бы помыслить 10-мерный аналог \G_2-многообразий с формой сигнатуры (7,3), получаемый таким образом. Теорема Берже вроде как есть только для лоренцевых многообразий, так что априори ничто не запрещает. Совсем смешно было бы сказать, дескать, \Lambda^+ есть пространство матриц Дирака, так что добавляя три времениподобные размерности, мы разрешаем ещё позитроны; после этого это наверняка можно чисто геометрически привязать к магнитным монополям. Всё-таки и то и то придумал Дирак, а каждый конкретный человек всё время, в сущности, думают одну и ту же мысль; поскольку Дирак был геометром, то и связь между этими вещами должна пролегать исключительно в области геометрии.

Current Mood: cold
Current Music: Норд-Ост -- Прощание с Архангельском