крест и радуга

Открытость и суб-открытость одного отображения Богомолова
Пусть S = S(g) -- сфера с g ручками, и Teich(S) -- пространство Тейхмюллера комплексных структур на ней. Расслоение первых когомологий E \to Teich тривиализуется связностью Гаусса-Манина. В нём имеется подрасслоение Ходжа F \subset E, F_I = H^{1,0}(X,I), не параллельное относительно связности. Выберем дополнительное подрасслоение \bar{F}, \bar{F}_I = H^{0,1}(X,I), тогда вторая фундаментальная форма T(Teich) \x F \to \bar{F} подрасслоения F относительно связности Гаусса-Манина есть тензор Кодаиры-Спенсера. Иными словами, тензор Кодаиры-Спенсера есть приливная сила, которую испытывает комплексное многообразие при движении по пространству модулей.

Имеем право рассмотреть проекцию F \to H^1(S, \C) из тотального пространства расслоения Ходжа. Его образ описан Каповичем (и за 80 лет до Каповича каким-то Отто Гауптом): это SL(2g, Z)-орбита сколь угодно малой окрестности классов когомологий с ровно двумя линейно независимыми периодами, которые можно оттянуть с эллиптической кривой (ну плюс нуль, конечно). Его рассуждение опирается на следующее

Утверждение ('теорема о голономии' Хейхала-Тёрстона). Отображение F \ 0_F \to H^1(S, C) открыто.

Поскольку действие группы Sp(2g, Z) на проективизации положительного конуса в пространстве H^1(S, C) эргодично, это означает, что этот образ -- открытое плотное множество. Общая орбита эргодического действия плотна, а необщие классифицируются теоремой Ратнер, из которой Капович и выводит своё утверждение.

Образ гауссова отображения Teich \to Gr(g, H^1), называемый локусом Шоттки, устроен куда сложнее. Но можно рассмотреть промежуточную задачу.

Задача (Богомолов). Описать образ грассманова расслоения Gr(m, F) \to Gr(m, H^1), где 1 < m < g.

Конечно, об открытости говорить не приходится: образ всегда будет содержаться в изотропном грассмановом многообразии Gris(m, H^1) в силу того, что голоморфные формы на кривой умножаются нулём. Более того, по исчислению размерности ясно, что при m > 3 отображение Богомолова не может быть открыто даже как отображение в изотропный грассманиан. Меж тем, при m = 2 размерность Gr(2, F) равняется 3g - 3 + 2(g-2) = 5g - 7, в то время как размерность изотропного грассманиана равняется 4g - 5, а при m = 3 случается странное: dim Gris(3, H^1) = 6g - 12, а dim Gr(3, F) = 3g-3 + 3(g-3) = 6g - 12. Иными словами, если отображение Богомолова открыто при m = 3, то общая тройка (1,0)-классов локально однозначно определяет комплексную структуру (общность здесь важна -- накрыть кривую рода три никто не запретит). Это позволило бы попробовать определить замкнутое условие на образ отображения Богомолова при m > 3 -- именно, всякая 3-плоскость должна давать одну и ту же комплексную структуру. Получиться из этого ничего не может, поскольку локус Шоттки имеет, если не ошибаюсь, фрактальную натуру.

Как можно было бы доказывать аналог теоремы об открытости для случаев m = 2, 3? Для этого попробуем передоказать её для случая m = 1 не элементарно-геометрически, как Тёрстон и Капович, а алгебраико-геометрически. В самом деле, пусть мы реализовали класс \alpha комплексной структурой I. Тогда мы можем реализовать ею же все классы, лежащие от него в направлениях, заданных касательными векторами из H^{1,0}(S, I). Стало быть, чтобы реализовать шарик, нужно научиться смещаться на вектора из H^{0,1}(S, I). Но для этого-то класс Кодаиры-Спенсера и придумали! Стало быть, чтобы сместиться на вектор \beta \in H^{0,1}, достаточно подобрать такой вектор v \in T_I(Teich), чтобы было выполнено равенство KS_v(\alpha) = \beta. Иными словами, теорема Хейхала-Тёрстона о голономии есть всего лишь утверждение о невырожденности класса Кодаиры-Спенсера универсального семейства кривых. Аналогичные утверждения о высших невырожденностях, в принципе, легко себе представить.

Кажется, в случае m < 3 можно доказать более сильное утверждение, о некоторой 'суб-невырожденности'. Напомню, что на проективизации симплектического векторного пространства имеется контактное распределение -- Hom(l, l^\perp/l) = H \subset T_l(V) = Hom(l, V/l). Если W \subset V -- лагранжево подпространство, то P(W) \subset P(V) -- лежандрово подмногообразие. Ткань этих лежандровых проективных подпространств служит дискретным аналогом контактного распределения: доказать, что оно интегрируемо, в ту же цену, что связать любые две точки ломаной, идущей вдоль лежандровых проективных подпространств. Аналогично для изотропного грассманиана любой размерности: можно определить точно такое же распределение, хотя и большего коранга, и лагранжевы подпространства будут задавать в нём ткань лежандровых грассманианов (последние три слова -- это такая строчка из певицы Хелависы, да). Неинтегрируемость этого распределения означает, что любые две точки могут быть соединены ломаной, идущей вдоль этой ткани, и может быть доказана нехитрым вычислением нильрадикала в понятно устроенной параболической подалгебре. Соответственно, можно задаться вопросом: связно ли будет множество реализуемых классов, если разрешить ходить только по лежандровым проективным подпространствам (соотв. грассманианам 2-плоскостей), которые получаются как P(H^{1,0}(S, I)) (соотв. Gr(2, H^{1,0}(S, I))) для всевозможных комплексных структур I \in Teich? Для m = 3 ответ будет уже другим, поскольку, как предсказывает Богомолов, общая 3-плоскость в когомологиях реализуема локально только одной комплексной структурой.

Current Mood: hungry
Current Music: Гр. Полухутенко -- Италия