Шифферовские вариации и тёплицевы операторы Капович доказал, что всякий класс первых когомологий на кривой можно представить мероморфной 1-формой с одним полюсом. Более того, кажется, этот полюс можно выбирать произвольно. Тем самым всякий класс когомологий на кривой с дыркой может быть представлен голоморфной формой. Пусть
X -- кривая со связной границей, тогда отображение
\Omega^1_{hol}(X) \to H^1(X, \C) сюръективно. Здесь
\Omega^1_{hol}(X) обозначает голоморфные формы. Обозначим пространство их граничных значений
B_X \subset \Omega^1(\partial X).
Если мы заклеим границу диском по отображению
f \in Diff(S^1), то комплексная структура на склейке устанавливается однозначно, см.
ответ Ерёменко на mathoverflow. Формы из
\Omega^1_{hol}(X), продолжающиеся внутрь диска по этой склейке, суть формы из
B_X \subset \Omega^1(\partial X), лежащие в пересечении с пространством Харди (точнее, дифференциалы голомофрных функций на диске. Но это, с точностью до констант, и есть пространство Харди). Это пространство имеет размерность
g, и отображением факторизации
\Omega^1(X) \to H^1(X, \C) оно отображается в некоторое подпространство половинной размерности. Понятно, что если мы прокомпонируем отображение
f с каким-то мёбиусовым преобразованием границы диска, комплексная структура на склейке не изменится. Тем самым, имеем отображение из 'малого универсального пространства Тейхмюллера'
LUT = Diff(S^1) / PSL(2, R) в пространство Тейхмюллера, называемое вариацией Шиффера.
Напомню конструкцию расслоения Ходжа(-Харди) над универсальным пространством Тейхмюллера. Рассмотрим гильбертово пространствo
L = L^2(S^1) / const как тривиальное расслоение над
Diff(S^1), и определим в нём непостоянное подрасслоение
HH \subset L, слой которого над точкой
f \in Diff(S^1) равен
f^*(H^2), где
H^2 \subset L^2 -- пространство Харди. Поскольку для
f \in PSL(2, R) имеем
f^*(H^2) = H^2, это подрасслоение оттягивается с подрасслоения, определённого над
LUT = Diff(S^1) / PSL(2, R). Оно и называется расслоением Ходжа-Харди.
Из этой картинки легко видеть, как устроена композиция отображения вариации Шиффера и отображения периодов. В тривиальном расслоении
L \to LUT выбирается постоянное подрасслоение
B_S, и рассматривается его пересечение с нетривиальным подрасслоением
HH. Пересечение оказывается непостоянным расслоением ранга
g, и изоморфно обратному образу расслоения Ходжа при отображении вариации Шиффера. Соответственно, проецируя
B_S в когомологии, получаем эту композицию. Поскольку универсальное отображение периодов
LUT \to \Lambda(L) в гильбертов лагранжев грассманиан голоморфно, а операции пересечений алгебраичны, получаем, что эта композиция голоморфна. Коль скоро отображение периодов из обычного пространства Тейхмюллера голоморфно и инъективно, отображение вариации Шиффера само голоморфно.
Поучительно рассмотреть, как выглядит связность Гаусса-Манина на расслоении Ходжа-Харди. Именно, пусть
b \in C^\infty(S^1) какая-то функция, так что
b д/дt есть векторное поле на окружности. Тогда результат применения связности Гаусса-Манина к вектору
h \in HH, то есть функции на окружности, голоморфно продолжающейся внутрь диска, таков: мы дифференцируем эту функцию по векторному полю, а затем проецируем на пространство Харди, то есть стираем все гармоники с неположительными номерами. Это, очевидно, есть оператор Тёплица с параметром
b, а если расписать все производные, не путая производную по
dz с производной по дуге окружности, получится оператор
\nabla^{GM}_{b д/дt}h = T_b(z dh/dz). В связи с этим, к примеру, интересно было бы изучить, какой имеет смысл кривизна оператора Тёплица (то есть выражение
[T_f, T_g] - T_{f'g - fg'}, или его аналог для вышеописанного модифицированного оператора Тёплица). Поскольку универсальное пространство Тейхмюллера однородно, эта кривизна может оказаться проще кривизны связности Гаусса-Манина в расслоении Ходжа над пространством Тейхмюллера.
Но вообще надо понимать, что я выпускаю аналитические детали, и у меня с одной стороны банаховы или даже гильбертовы многообразия, а с другой многообразия Фреше, и всё сказанное это не более чем метафора, очень нечистоплотная, если пытаться выдать её за математическое утверждение. Например, тот факт, что подпространство
B_S пересекает непостоянное подрасслоение
HH по подрасслоению нигде не подпрыгивающего ранга (что должно следовать из склеиваемости комплексных структур), довольно сомнителен.
Это я всё придумал, пока летел из Нью-Йорка в Атланту, а на следующий же день немедленно был облучён, имея возможность наглядно понять, какая чудовищная вещь Солнце, и как монструозен живущий в нём блейковский Бог, иже
gives his light and gives his heat away. Руки до сих пор красные и немного болят. Не знаю как на это реагировать; зато перед этим залез на гору с портретами генералов Конфедерации. Когда слез, обнаружил при основании флагшток с флагом этой самой Конфедерации, под которым было очень сильно накурено марихуаной. Много ручьёв, и все чудовищно грязные: даже если вытереться как там искупался, потом всё равно приходится стирать одежду. Зато в одном из них с меня чуть было не унесло течением трусы; он же был наигрязнейший.
Current Music: Burt Totaro -- The Hilbert scheme of infinite affine space