крест и радуга

Сечения кое-каких пространств флагов
Пусть V -- векторное пространство размерности g > 2, и v \in V -- ненулевой вектор. Рассмотрим в пространстве Hom(V/v, V^*) конус матриц, имеющих за исключением v в ядре ровно один вектор. Скажем, если g = 3, такая матрица (с точностью до пропорциональности) определяется своим ядром (одномерным) и образом (также одномерным). Тем самым, параметризующее их многообразие есть многообразие Сегре P^1 \x P^2 = P(V/v) \x P(V^*) \subset P(Hom(V/v, V^*)) = P^5. Оно имеет коразмерность два, и общее его сечение плоскостью P^2 \subset P^5 состоит из нескольких точек.

Есть однако и необщие. Именно, если V = H^{1,0} у какой-то общей (в частности не гиперэллиптической) кривой рода три, 1-форма (которую я тут обозначаю v) допускает трёхмерное семейство сохраняющих её деформаций. Их классы Кодаиры-Спенсера дают трёхмерное подпространство в Hom(V/v, V^*). Наше многообразие Сегре пересекает его по тем деформациям, которые сохраняют периоды ещё какой-то 1-формы, отличной от v. Для рода три мы знаем, что это сечение будет коникой (то есть иметь размерность на 1 больше, чем предсказано). Для общего случая мы знаем только, что это будет многообразие в P^{2g-4}, на котором лежит семейство P^{g-3}, параметризованное P^{g-2}. В частности, оно является гиперповерхностью.

Нельзя ли как-то заключить отсюда, что оно действительно будет квадрикой?

Current Mood: sick