крест и радуга

Похоже, доказал
Транзитивность-то.

В самом деле, теорема Эйхлера утверждает, помимо всего прочего, что если на Z^4 есть две неделимые симплектические формы с одинаковым детерминантом, то они переводятся друг в дружку матрицей из SL(4, Z). В частности, любая неделимая симплектическая решётка ранга четыре с детерминантом d изоморфна dQ + Q, где Q = Z^2 со стандартной формой dx \wedge dy. Стало быть, если U \subset Z^{2g} полная симплектическая подрешётка ранга четыре с определителем d, то она может быть отождествлена с dQ + Q. Пусть W это образ dQ при таком отождествлении, а E -- образ Q. Мы знаем, что любые две подрешётки ранга два с данными определителями могут быть отождествлены симплектической матрицей; стало быть, можно считать, что E порождена первыми двумя векторами в стандартном базисе. Но тогда перпендикулярная ей подрешётка W лежит в стандартном Z^{2g-2}, порождённом всеми остальными векторами, и имеет определитель d. Причём мы знаем, что она высекается некоторым вещественным подпространстом, потому что изначальная решётка высекалась; стало быть, подрешётка W \subset Z^{2g-2} полная. Стабилизатор векторов из E действует как Sp(2g-2, Z), так что любые две такие подрешётки W, полные и с определителем d, переводятся друг в друга симплектической матрицей.

Вроде нигде не проврался. Наверняка оно для подрешёток ранга шесть ломается по внутренним причинам -- мол в этом случае уже существуют неизоморфные абстрактно решётки с одинаковыми определителями.

Ну и стало быть теперь стоят два вопроса. Во-первых, деформация отображения кривой в абелеву поверхность вслед за абелевой поверхностью, во-вторых, для рода g выписать всевозможные определители, получающиеся отображением в абелеву поверхность из какой-то кривой рода g.

Current Mood: cold