Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Rodion Déev ([info]deevrod)
@ 2020-12-18 14:19:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: happy
Музыка:Полки нового строя -- Ламарк
Entry tags:алгебра

Задачка про матрицы (к предыдущему)
Задача такая: дана решётка Z^{2g}, и в ней две полные подрешётки U, V ранга два, обе с определителем d. Доказать, что существует матрица A \in Sp(2g, Z) такая, что gU = V.

В вещественном случае доказательство бы следовало из транзитивности на базисах. Однако в целочисленном случае ничего подобного ожидать нельзя! Скажем, рассмотрим Z^2 с базисом e, f, (e, f) = 1. Тогда базис {e, e + 3f} не может быть переведён в {e, 2e+3f}, несмотря на то что их определители равны: если e остаётся на месте, то f может перейти только в f + ne, а 3f + e соответственно только в 3f + (3n+1)e. Однако порождённые этими базисами подрешётки, конечно, одни и те же.

Заметим же, что, коль скоро симплектические матрицы действуют транзитивно на неделимых векторах, мы можем ограничиться рассмотрением только подрешёток, порождённых базисным вектором e_0 и ещё каким-то вектором, который умножается на e_0 числом d (и является неделимым по модулю e_0, поскольку порождаемая подрешётка полная). Всякий такой вектор имеет вид df_0 + u, где u \in e_0^\perp. Нам хочется, стало быть, для любых двух векторов u, v \in e_0^\perp, неделимых по модулю e_0, подыскать такую симплектическую матрицу A, что Ae_0 = e_0 и A(df_0 + u) = df_0 + v + ke_0 для какого-то числа k. Заметим, что Af_0 = f_0 + x, где x \in e_0^\perp. Итого мы хотим добиться равенства dx + Au = v + ke_0. Это уравнение на вектора из e_0^\perp; симплектическая решётка e_0^\perp mod e_0 является стандартной, а стабилизатор e_0 действует на ней всей симплектической группой, и в ней уравнение сводится к d[x] + A[u] = [v]. Заметим однако, что полнота подрешёток U и V влечёт неделимость векторов [u] и [v], так что это уравнение имеет решение для [x] = 0 (в силу чего никаких осложнений с поднятием A до элемента Sp(2g, Z), связанных с необходимостью блюсти ортогональность Af_0 векторам из e_0^\perp не возникает).

Это, вкупе с предыдущим постом, доподлинно завершает доказательство теоремы Каповича для эллиптических классов. Слава Богу за всё!



(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)


[info]tiphareth
2020-12-19 19:08 (ссылка)
аргумент такой:
пусть V решетка, а W=\Lambda^2 V
соответствующая квадратичная решетка, содержащая симплектическую
форму w. Тогда SO(W)=SL(V). Поскольку SO(W)
действует транзитивно на векторах с фиксированным
квадратом (теорема Эйхлера), то и на симплектических
формах с заданным детерминантом SL(V) тоже действует транзитивно

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2020-12-19 22:14 (ссылка)
> теорема Эйхлера

не знал! очень красиво

(Ответить) (Уровень выше)


[info]deevrod
2020-12-19 23:58 (ссылка)
но наверное надо, чтобы квадратичная решётка была
незнакоопределённой? иначе dx^2 + dy^2 контрпример,
(3; 4) не переводится в (0; 5)

какой на эту теорему референс?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2020-12-20 01:28 (ссылка)

> чтобы квадратичная решётка была
>незнакоопределённой

там еще надо две гиперболические подрешетки, кажется

референс (не читаешь наших с Катей трудов, он там в
каждом)

\theorem\label{_divisibi_GHS_Theorem_}
(see e.g. \cite{GHS}, Lemma 3.5)
Let $(L, q)$ be a lattice containing two
orthogonal isotropic planes. The orbit of $l\in L$
under $\tilde{O}(L)$ is determined by $q(l)$
and the image of $l/d(l)$ in the discriminant
group. Here we view the dual lattice as an overlattice
of $L$ in $L\otimes \Q$, and $d(l)$ is the
{\it divisibility} of $l$, that is, the pairing
of $l$ with $L$ gives the ideal $d(l)\Z$.

\bibitem[GHS]{GHS}
Gritsenko, V. A., Hulek, K., Sankaran, G. K.,
{\em Moduli Spaces of Irreducible Symplectic Manifolds},
Compositio Math. 146 (2010) 404 - 434.

У них это ссылка на
We recall the the following classical criterion of
Eichler (see [E, §10]).

M. Eichler, Quadratische Formen und orthogonale Gruppen.
Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 63. Springer-
Verlag, Berlin-New York, 1974


(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2020-12-20 04:51 (ссылка)
ну то есть надо ещё неделимости требовать, очевидно
потому что иначе подойдут решётки 4Q + Q и 2Q + 2I,
где Q это стандартная симплектическая решётка 2 на 2

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2020-12-20 23:49 (ссылка)
само собой

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2020-12-20 23:49 (ссылка)
под "orthogonal isotropic planes" они всегда имеют в виду
0 1
1 0
там просто неаккуратно сформулировано

(Ответить) (Уровень выше)


(Читать комментарии) -