крест и радуга

Обращение конструкции Бисваса-Маркушевича
Давайте рассмотрим открытое голоморфно симплектическое многообразие X, лагранжево расслоённое над шаром. Предположим, что это расслоение тривиально, и слой его -- якобиан кривой S рода g. Вложим по кривой в каждый слой. У нас при этом есть свобода выбора, поскольку кривые можно параллельно сдвигать вдоль слоя, но для начала рассмотрим случай прямого произведения (тогда и базу можно будет выбрать не диском, а всем \C^g, аффинным пространством над H^{1,0}(S)). Объединение кривых во всех слоях образует (g+1)-мерное подмногообразие Y \subset X, и ограничение голоморфно симплектической формы на него задаёт распределение ядер, а тем самым и характеристическое слоение. Поскольку запрет на спаривание вводится по вертикали, характеристическое слоение будет горизонтальным: в точке (z, s) \in \C^2 \x S ядро будет состоять из горизонтальных векторов, направленных вдоль классов голоморфных 1-форм, зануляющихся в s. Стало быть, листы характеристического слоения имеют вид (z + \gamma_s, s), где \gamma_s \in H^{1,0}(S) -- всевозможные 1-формы такие, что \gamma_s(s) = 0. Значит пространство листов устроено как расслоение над кривой S, слой над точкой s у которого есть факторпространство H^{1,0}(S)/ker(ev_s : \gamma \mapsto \gamma(s)). Однако этот фактор это буквально кокасательное пространство T^*_s! Таким образом, кокасательное расслоение кривой реализуется как пространство листов на тривиальном расслоении на её якобианы.

Можно начать корёжить эту конструкцию, двигая кривые вдоль слоёв. (g+1)-мерное комплексное многообразие при этом будет получаться то же самое, однако голоморфная симплектическая структура будет уже другая, и наверное так можно добиться какого-нибудь интересного эффекта. Например, мы знаем, что трубчатая окрестность кривой рода два на своей якобиевой поверхности не биголоморфна никакой трубчатой окрестности нулевого сечения в её кокасательном расслоении. Однако все кривые рода два и там и там это сдвиги данной, и не удивлюсь, если росток якобиевой поверхности получается как пространство листов характеристического слоения для какой-то вертикальной вариации.

Ну и наконец самый интересный случай это когда всё едет: имеется нетривиальное расслоение на якобианы, в каждом из них можно поселить кривую, возникает семейство (g+1)-мерных подмногообразий, и у каждого пространство листов характеристического слоения. Дело в том, что если взять K3, и на ней линейную систему кривых рода g, то на послойном якобиане J \to \CP^g вне дискриминанта возникает голоморфно симплектическая структура, в которой сами якобианы лагранжевы (кажется, я читал про это у Бисваса). Она не всегда компактифицируется (хотя

v_r утверждал обратное со ссылкой на статью Маркмана про теорию Шафаревича-Тейта), но для g = 2 компактифицируется благодаря теореме Маркушевича, и эта компактификация деформируется в двухточечную схему Гильберта исходной K3. Можно же пытаться обратить эту конструкцию: подходящим образом вписав в каждый слой кривую, якобианом которой он является, получить росток исходной K3 как пространство листов возникающего там характеристического слоения. Конечно, такое открытое многообразие не всегда будет вписываться в K3-поверхность: так, можно взять семейство якобианов, нетривиальное лишь поперёк какого-то направления, а в этом направлении тривиальное. Тогда реализация соответствующего пространства листов как области в K3-поверхности давала бы многообразие Маркушевича с лагранжевым расслоением, отображение периодов которого имеет неполный ранг.

Current Mood: thirsty
Current Music: Polonez Ogińskiego "Pożegnanie Ojczyzny" (wersja godzinna)