> теория Галуа есть

это да. хотя с ней очень сложно всё, как по мне.
Если захочешь когда-нибудь со вкусом во всё это
погрузиться, вот хорошая штука:

https://arxiv.org/abs/0810.0383

Аналоги этой теоремы потом оказались полезны Пиле
в его крестовом походе на Андре-Оорта.
Хотя, если я не путаю, у него результаты типа акса-линдемана
без дифференциальщины доказаны.

связь с шелахом в том, что существование дифференциально
замкнутых полей следует из общих соображений шелаховской
теории стабильности, и вроде бы до шелаха это доказать не могли. но это не то чтобы супер результат, основания.

трихотомия да, работает, но это как раз продолжение истории
с манинским доказательством, которое вместе с идеей трихотомии
дало толчок трудам Хрущовского по морделлу-лэнгу.