Настроение:	calm
Музыка:	Noam Elkies -- 2.5-Part Invention

любимые скобки
Начальный объект в категории унитальных k-алгебр -- это само k. Если же рассмотреть категорию пар (A, f), где A -- k-алгебра, а f -- эндоморфизм подлежащего векторного пространства, то в ней начальным объектом будет алгебра правильных скобочных последовательностей (псп) с оперцаией конкатенации. Придумать более разумный пример алгебры с эндоморфизмом, который не обнулял и не сохранял бы единицу, мне не удалось.

Можно рассмотреть также пространство с базисом, состоящим из псп с отмеченной позицией (где позицией можно называть либо какие-нибудь скобки максимальной вложенности, либо любой промежуток между скобками -- получатся два разных пространства). На этом пространстве можно завести целых два умножения: в конкатенации AB оставляющее отмеченной позицию слева либо справа. Если эти отображения обозначать < и > соответственно, то помимо обычной ассоциативности имеют место тождества:

(A < B) > C = (A > B) > C
(A > B) < C = A > (B < C)
A < (B > C) = A < (B < C)

Таким образом, меченые псп образуют диалгебру.

Помимо этого, на этом пространстве имеется ещё и структура алгебры: одну меченую псп можно вставить в другую на отмеченную позицию. Аналогичным образом ПСП образуют модуль над алгеброй меченых псп с операцией вставки. Это позволяет получить много дифференцирований алгебры псп. Именно, если A -- псп, определим D_A(B) следующим образом: рассмотрим все меченые псп, получающиеся из B, вставим в них A на отмеченную позицию и возьмём сумму со знаками (можно и без знаков).

Наконец, как известно, псп находятся в однозначном соответствии с положительными функциями на отрезке [0; 1], зануляющимися в его концах, дифференцируемыми всюду, за исключением конечного числа рациональных точек, и имеющих производную \pm 1. Композиция таких функций, очевидно, тоже такая функция. Это определяет ассоциативную операцию на псп, непонятно как соотносящуюся с вышеописанными. Это соответствие с функциями, кстати, не взаимно однозначно, [] и [[]] представляют одну и ту же функцию.

Какой в этом смысл, непонятно.