Гессиан
Когда говорят по гессиан, то часто упоминают, что он зависит от выбора координат, а потому каноническим не является -- в отличие-де от комплексного гессиана dd^c, который в силу неких мистических причин определён инвариантно. А может, и не говорят, но я запомнил именно так. На самом деле это неправда.

Для гессиана никаких координат не нужно -- если есть связность \nabla в кокасательном расслоении, то гессиан f -- это просто форма \nabla(df). Это 1-форма с коэффициентами в 1-формах, то есть 2-форма. В силу правила Лейбница (\nabla_u(df))v + \nabla_u(df(v)) = df(\nabla_uv) имеем такое тождество: (\Hess f)(u, v) - (\Hess f)(v, u) = df(\nabla_u(v) - \nabla_v(u)) - \Lie_u\Lie_v(f) + \Lie_v\Lie_u(f) = df(\nabla_u(v) - \nabla_v(u) - [u,v]) = \Lie_{\Tors(u,v)}(f). В частности, если связность без кручения, то гессиан является симметрической 2-формой.

Положительная определённость гессиана \Hess f означает, что для любого ненулевого векторного поля u величина (\Hess f)(u, u) = \Lie_u\Lie_u(f) - \Lie_{\nabla_u(u)} положительна. Значение гессиана в данной точке определяется касательным вектором, а любой вектор в окрестности можно продолжить до киллингова поля. Поэтому из этой формулы следует, что гессиан функции положительно определён тогда и только тогда, когда она выпукла в ограничении на любую геодезическую.

Можно было бы помыслить такие связности и функции, у которых гессиан является кососимметрической 2-формой. Но на самом деле это не очень интересно -- эта функция должна быть аффинной в ограничении на каждую геодезическую, а сама 2-форма получалась бы подстановкой кручения в дифференциал этой формы. Однако, может быть, локально конформно симплектические многообразия, универсальные накрытия которых имеют такой вид, могут быть небезынтересны.

А существование инвариантного комплексного гессиана наверняка происходит из существования (0,1)-связности \bar{\partial}. Не буквально, конечно (иначе бы dd^c была симметрической формой), но думать, как именно, мне лень.