Окей, тогда как ты определяешь связность Лиувилля-Арнольда?
Я бы сказал, что надо поднять касательный вектор к базе до нормального поля, параллельного относительно связности Ботта, отождествить его при помощи симплектической формы с 1-формой, которая в силу параллельности нормального поля тоже будет параллельна, и сказать, что на плоском торе параллельные 1-формы однозначно соответствуют классам первых когомологий, на которых есть связность Гаусса-Манина. Если слои не плоские, ничего такого не работает.