крест и радуга [entries|friends|calendar] Rodion Déev [ userinfo | livejournal userinfo ] [ calendar | livejournal calendar ]

Похоже, доказал [23 Dec 2020|05:21pm] [ mood | cold ] Транзитивность-то. В самом деле, теорема Эйхлера утверждает, помимо всего прочего, что если на Z^4 есть две неделимые симплектические формы с одинаковым детерминантом, то они переводятся друг в дружку матрицей из SL(4, Z). В частности, любая неделимая симплектическая решётка ранга четыре с детерминантом d изоморфна dQ + Q, где Q = Z^2 со стандартной формой dx \wedge dy. Стало быть, если U \subset Z^{2g} полная симплектическая подрешётка ранга четыре с определителем d, то она может быть отождествлена с dQ + Q. Пусть W это образ dQ при таком отождествлении, а E -- образ Q. Мы знаем, что любые две подрешётки ранга два с данными определителями могут быть отождествлены симплектической матрицей; стало быть, можно считать, что E порождена первыми двумя векторами в стандартном базисе. Но тогда перпендикулярная ей подрешётка W лежит в стандартном Z^{2g-2}, порождённом всеми остальными векторами, и имеет определитель d. Причём мы знаем, что она высекается некоторым вещественным подпространстом, потому что изначальная решётка высекалась; стало быть, подрешётка W \subset Z^{2g-2} полная. Стабилизатор векторов из E действует как Sp(2g-2, Z), так что любые две такие подрешётки W, полные и с определителем d, переводятся друг в друга симплектической матрицей. Вроде нигде не проврался. Наверняка оно для подрешёток ранга шесть ломается по внутренним причинам -- мол в этом случае уже существуют неизоморфные абстрактно решётки с одинаковыми определителями. Ну и стало быть теперь стоят два вопроса. Во-первых, деформация отображения кривой в абелеву поверхность вслед за абелевой поверхностью, во-вторых, для рода g выписать всевозможные определители, получающиеся отображением в абелеву поверхность из какой-то кривой рода g. 4 comments|post comment

Задачка про матрицы (к предыдущему) [18 Dec 2020|02:19pm] [ mood | happy ] [ music | Полки нового строя -- Ламарк ] Задача такая: дана решётка Z^{2g}, и в ней две полные подрешётки U, V ранга два, обе с определителем d. Доказать, что существует матрица A \in Sp(2g, Z) такая, что gU = V. В вещественном случае доказательство бы следовало из транзитивности на базисах. Однако в целочисленном случае ничего подобного ожидать нельзя! Скажем, рассмотрим Z^2 с базисом e, f, (e, f) = 1. Тогда базис {e, e + 3f} не может быть переведён в {e, 2e+3f}, несмотря на то что их определители равны: если e остаётся на месте, то f может перейти только в f + ne, а 3f + e соответственно только в 3f + (3n+1)e. Однако порождённые этими базисами подрешётки, конечно, одни и те же. Заметим же, что, коль скоро симплектические матрицы действуют транзитивно на неделимых векторах, мы можем ограничиться рассмотрением только подрешёток, порождённых базисным вектором e_0 и ещё каким-то вектором, который умножается на e_0 числом d (и является неделимым по модулю e_0, поскольку порождаемая подрешётка полная). Всякий такой вектор имеет вид df_0 + u, где u \in e_0^\perp. Нам хочется, стало быть, для любых двух векторов u, v \in e_0^\perp, неделимых по модулю e_0, подыскать такую симплектическую матрицу A, что Ae_0 = e_0 и A(df_0 + u) = df_0 + v + ke_0 для какого-то числа k. Заметим, что Af_0 = f_0 + x, где x \in e_0^\perp. Итого мы хотим добиться равенства dx + Au = v + ke_0. Это уравнение на вектора из e_0^\perp; симплектическая решётка e_0^\perp mod e_0 является стандартной, а стабилизатор e_0 действует на ней всей симплектической группой, и в ней уравнение сводится к d[x] + A[u] = [v]. Заметим однако, что полнота подрешёток U и V влечёт неделимость векторов [u] и [v], так что это уравнение имеет решение для [x] = 0 (в силу чего никаких осложнений с поднятием A до элемента Sp(2g, Z), связанных с необходимостью блюсти ортогональность Af_0 векторам из e_0^\perp не возникает). Это, вкупе с предыдущим постом, доподлинно завершает доказательство теоремы Каповича для эллиптических классов. Слава Богу за всё! 13 comments|post comment

Алгебра Вейля [15 Sep 2017|09:27am] [ mood | sleepy ] Не прошло и трёх лет, как я наконец-то понял теорию Черна-Вейля. Когда про неё говорят, всегда пишут какие-то невнятные ряды, симметризаторы и т. д. А между тем, идея там очень простая. Если имеется главное G-расслоение G --> P --> B, то оно приходит как обратный образ универсального расслоения G --> EG --> BG. Его алгебраической заменой служит тройка Sym \g^* --> W(\g) --> CE(\g); расслоение со связностью устанавливает отображение Черна-Вейля из этой тройки в тройку \Omega(B) --> \Omega(P)^G --> CE(\g), тождественное на третьем члене. Так вот, вместо отображения Черна-Вейля \Sym \g^* --> \Omega(B), которое впрямь задаётся какими-то громоздкими суммами, следует смотреть на отображение W(\g) --> \Omega(P)^G. Его достаточно задать на образующих алгебры Вейля, из которых кососимметрические сидят в градуировке 1, а симметрические -- в градуировке 2. Но связность как раз и даёт нам 1-форму \theta : TP^G \to \g и 2-форму кривизны \Phi : \Lambda^2(TP)^G --> \g. Ну, значит, образующую f \in \Lambda^1\g^* отправим в v \mapsto f(\theta(v)), а образующую f' \in \Sym^1\g^* -- в (u,v) \mapsto f'(\Phi(u,v)). Осталось проверить, что это отображение дифференциально-градуированных алгебр (достаточно сделать это на образующих), и что при замене связности класс когомологий получающихся форм не меняется. Если хочется, то явную формулу можно вывести уже отсюда. Забавно, что у Вейля (а если не у него, то у Картана), по-видимому, именно это рассуждение и было. Почему его никто не воспроизводит, я понять не могу. Под утро по наводке Саши Петрова открывал статью Фейгина и Цыгана с доказательством теоремы Римана-Роха. Нашёл там ссылку на саратовского (точнее, на самом деле, покровского) (upd: всё-таки саратовского, не знаю, с чего я это взял) математика Лосика, с благодарностью за некие вычисление в алгебре Вейля алгебры векторных полей на окружности. Некая национальная последовательность определённо просматривается. 8 comments|post comment

Странности [23 Aug 2017|09:21pm] [ mood | hungry ] Всякий, кто видел комплекс Лодея-Пирашвили, удивлялся несимметричности формулы для дифференциала. Кажется, я понял, в каком смысле эта формула 'неправильная'. Комплекс Шевалле-Эйленберга для алгебры Ли \g, из которого эта формула происходит, хорош тем, что из него легко получить бикомплекс Вейля: нужно просто выписать комплексы Шевалле-Эйленберга для всех модулей \Sym^i(\g^*) и расположить их один над другим, сдвинув i-й комплекс на i вправо, а потом добавить вертикальные стрелки \Sym^i(\g^*) \o \Lambda^j(\g^*) \to \Sym^{i+1}(\g^*) \o \Lambda^{j-1}(\g^*), которые происходят из дифференциала на алгебре \Sym(\g^*) \o \Lambda(\g^*), который кососимметрические образующие переводит в соответствующие симметрические, а симметрические в 0. Ещё нужно в нечётных строках обратить знак, но не суть. Было бы логично ожидать, что аналогичный комплекс существует для всех лейбницевых алгебр. Однако если попытаться составить бикомплекс аналогичным образом из комплексов Лодея-Пирашвили для \g-модулей (\g^*)^{\o i}, ничего не получится. Тем не менее, мы знаем нулевую строку (она получается просто распространением скобки по правилу Лейбница). Кроме того, понятно, как должны быть устроены столбцы: дифференциалом в них должно быть дифференцирование тензорной алгебры T(\g^*[1] \oplus \g^*[2]), заданное на образующих как [1] на \g^*[1] и 0 на \g^*[2]. Отсюда можно понять, как выглядит по крайней мере нулевой дифференциал в 'правильном' комплексе Лодея-Пирашвили для коприсоединённого бимодуля А алгебры \g: это есть отображение A \to (A \o \g^*) \oplus (\g^* \o A), задающееся как (da)(g \oplus g') = ([g,a] \oplus -[a,g']). Оно вообще-то логично: отображение [-,g] есть дифференцирование, а [g,-] -- антидифференцирование алгебры Лейбница, а дифференцирования и антидифференцирования всегда ходят парами. Соответственно, для произвольного \g-бимодуля этот дифференциал должен быть устроен совершенно так же. Возникает соблазн определить алгебру Вейля для алгебры Лейбница \g как T(\g^*[1] \oplus \g^*[2]), где дифференциал задан на образующих так, как сказано выше, и распространён по правилу Лейбница. Но это противоречит тому соображению, что строками бикомплекса Вейля должны быть комплексы Лодея-Пирашвили (некоторым образом подправленные) с коэффициентами в тензорных степенях коприсоединённого бимодуля: в таком образовании будут встречаться компоненты типа \g^*[1] \o \g^*[2] \o \g^*[1] \o \g^*[2] \o \g^*[2] \o \g^*[1], ожидать, что их можно воспринять в терминах бимодуля (\g^*[2])^{\o i}, странно. Видимо, правильно думать про какой-то факторбикомплекс этого бикомплекса. Но странно всё это: не могли же ни Лодей, ни Пирашвили оба не заметить сего очевидного соображения. При этом, конечно, когомологии у таких подправленных комплексов получаются совершенно другие, даже нулевые. А про когомологии Лодея-Пирашвили что-то доказано: например, что имеет место равенство HL^*(\g, M) = \Ext^*_{UL(\g)}(U(\g_Lie), M). Это означало бы, что и их определение лейбницевской универсальной обёртывающей неправильное -- а на той есть уже структура диалгебры, и т. д. Вообще это уже всё наверняка где-то написано, но нагуглить я не смог. PS. Правильно было бы, конечно, сразу алгебру Алексеева -- Майнренкена обобщать, как учит нас lenik_r@lj -- но там что-то совсем сложно. 6 comments|post comment

любимые скобки [12 Dec 2016|08:53pm] [ mood | calm ] [ music | Noam Elkies -- 2.5-Part Invention ] Начальный объект в категории унитальных k-алгебр -- это само k. Если же рассмотреть категорию пар (A, f), где A -- k-алгебра, а f -- эндоморфизм подлежащего векторного пространства, то в ней начальным объектом будет алгебра правильных скобочных последовательностей (псп) с оперцаией конкатенации. Придумать более разумный пример алгебры с эндоморфизмом, который не обнулял и не сохранял бы единицу, мне не удалось. Можно рассмотреть также пространство с базисом, состоящим из псп с отмеченной позицией (где позицией можно называть либо какие-нибудь скобки максимальной вложенности, либо любой промежуток между скобками -- получатся два разных пространства). На этом пространстве можно завести целых два умножения: в конкатенации AB оставляющее отмеченной позицию слева либо справа. Если эти отображения обозначать < и > соответственно, то помимо обычной ассоциативности имеют место тождества: (A < B) > C = (A > B) > C (A > B) < C = A > (B < C) A < (B > C) = A < (B < C) Таким образом, меченые псп образуют диалгебру. Помимо этого, на этом пространстве имеется ещё и структура алгебры: одну меченую псп можно вставить в другую на отмеченную позицию. Аналогичным образом ПСП образуют модуль над алгеброй меченых псп с операцией вставки. Это позволяет получить много дифференцирований алгебры псп. Именно, если A -- псп, определим D_A(B) следующим образом: рассмотрим все меченые псп, получающиеся из B, вставим в них A на отмеченную позицию и возьмём сумму со знаками (можно и без знаков). Наконец, как известно, псп находятся в однозначном соответствии с положительными функциями на отрезке [0; 1], зануляющимися в его концах, дифференцируемыми всюду, за исключением конечного числа рациональных точек, и имеющих производную \pm 1. Композиция таких функций, очевидно, тоже такая функция. Это определяет ассоциативную операцию на псп, непонятно как соотносящуюся с вышеописанными. Это соответствие с функциями, кстати, не взаимно однозначно, [] и [[]] представляют одну и ту же функцию. Какой в этом смысл, непонятно. 2 comments|post comment

navigation [ viewing | most recent entries ]