зачем ты умер, иван

ну, вообще говоря, я сходу тоже не скажу, почему j(x) - целое (или хотя бы рациональное). он, конечно, многочлен от коэффициентов эллиптической кривой, но они сами по себе вполне трансцендентные функции от решётки, ряды Эйзенштейна. с другой стороны, дзета-функция в чётных точках почти целая, например; c третьей стороны, почему эллиптические функции в рациональных точках алгебраические, я понимаю хорошо - они полный аналог комплексной экспоненты в этом смысле, где теория деления круга соответствует теории деления лемнискаты: для эллиптического синуса/косинуса есть точно такие же формулы половинного/двойного/кратного угла и формулы сложения, что и для обычных. т.е. "простую" частью югендтраума, про то, что максимальное абелево расширение мнимого квадратичного поля получается присоединением всех делений лемнискаты вместо круга как у Q, т.е. всех значений уже не комплексной экспоненты в рац. точках, а эллиптического синуса, легко понять - это продолжение теоремы Кронекера-Вебера. но, действительно, эллиптические функции - это функции на кривой, а j-инвариант - на многообразии их модулей. Леммермейер пишет об этом как о big surprise; википедия, впрочем, добавляет, что j(x) целое для любого мнимо-квадратичного из верхней полуплоскости (хоть с нормой одна миллионная - совсем как экспонента опять). что наталкивает на мысль, что для него тоже должны быть какие-нибудь функциональные уравнения типа сложения-умножения (простой модулярной инвариантности недостаточно, вроде) - но не буду врать, надо подумать-почитать.

про фурье-делиня я вообще ничего не знаю, даже определения, только слышал, что с его помощью можно гипотезы Вейля доказывать :) к сожалению, я этальную геометрию знаю плохо, читал Милна, да и того по диагонали.
но если вы спросите у этого чувака:), я с удовольствием почитаю, что он ответит :)