С другой стороны, кочующее из книжки в книжку утверждение, что подмножество является подгруппой если и только содержит вместе с каждой парой элементов и их отношение, допускает пустое множество как подгруппу. Пополнение категории групп пустой группой лишит единичную группу статуса начального объекта, что по очевидным причинам нежелательно. В данном случае, оговорки о специальном статусе нуля вполне уместны.

Решение упражнения о башне степеней зависит от того "с какой стороны" элементы добавляются в башню (т.к. операция не коммутативна). Если следовать естественному порядку выбранных вами переменных x,y,z, то новые элементы добавляются сверху, и пустая башня \Lambda должна обладать свойством \Lambda^x = x для всех x (невозможно). Если же башня растёт вниз, то нужно x^\Lambda = x (\Lambda = 1).

(Reply to this) (Thread)

>В данном случае, оговорки о специальном статусе нуля вполне уместны.

Такое определение подгруппы, конечно, неверно.
Но я не считаю это оговоркой или специальным статусом,
точно так же как я не считаю оговоркой
упоминание нуля в определении группы и модуля.

Башня, конечно, может расти только в одном направлении
в силу расстановки скобок.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Прошу прощения за задержку, я не получил ответ на почту.

Расстановка скобок, вопреки распространённому заблуждению, в данном случае не играет никакой роли: без дополнительных оговорок, никто не мешает рассматривать башню 2^{3^{4^5}} как продолжение башни 2^{3^4}. Речь идёт о распространии некоей бинарной операции (в данном случае возведения в степень) op:R^2->R до операции OP:R^*->R над последовательностями чисел. Значение "пустой башни" определяется как нейтральный элемент для получившегося "редуцированного оператора". Сторона, с которой растёт башня завистит от того, определяется ли OP(p+q) как OP(p)^OP(q) или OP(q)^OP(p) (где p и q последовательности из более чем 1 элеменнта, а "+" --- конкатенация) --- независимо от расстановки скобок.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Сторона, с которой растёт башня завистит от того, определяется ли OP(p+q) как OP(p)^OP(q) или OP(q)^OP(p) (где p и q последовательности из более чем 1 элеменнта, а "+" --- конкатенация) --- независимо от расстановки скобок.

Нет, это уже совсем неверно.
Операция возведения в степень не является ассоциативной.
По этой причине последовательность p в определении
OP(p+q) должна состоять ровно из одного элемента
— иначе определение будет просто некорректным.
А в силу расстановки скобок в моей формулей
корректным вариантом будет только OP([p]+q)=p^OP(q).
Поскольку OP([p]) = p, имеем OP([]) = 1.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Да, вы правы, конечно, совершенно нелепая ошибка.

(Reply to this) (Parent)