у меня есть несколько вопросов о пользе локалей (если отречения от пользы локалей еще не произошло)
1)Есть примеры естественно встречающихся локалей, которые не приходят из топологических\измеримых пространств?
2)Вы приводили несколько примеров пользы локалей в топологии\функане (бесплатные эквивариантные и семейственные версии теорем) - можно ли поподробнее? ну там, формулировки их хотя бы, или ссылку на них, и как локали там помогают
3)Когда я пытался разобраться в пользе локалей в применении к коммутативной алгебре, то все что я увидел было в общем-то посвящено убиванию леммы цорна и аксиомы выбора, есть ли у вас на уме другие причины? Просто стесняться одной только аксиомы выбора как-то странно - во-первых, что с ней, что без нее, математика одинаково противоречива, во-вторых, в тех множествах что я себе мыслю она все-таки выполнена, и запрещать ее было бы очень неудобно для мышления, ну и в конце концов, если уж мы себе разрешаем универсы, то по сравнению с этим AC выглядит вполне безобидно

(Reply to this) (Thread)

>Есть примеры естественно встречающихся локалей, которые не приходят из топологических\измеримых пространств?

Конечно. Бикатегория малых топосов Гротендика эквивалентна категории
бикатегории локалических групоидов.
Так что любой малый топос Гротендика даёт пример.
Например, в алгебраической геометрии есть целая куча сайтов
(Зарицкого, Нисневича, этальный и другие) и все они дают примеры.
Это также объясняет этальную фундаментальную группу
и этальный гомотопический тип Артина-Мэйзура,
которые оба пропускаются через локалические групоиды.
Далее, тот факт, что и фундаментальная группа является про-группой,
и этальный гомотопический тип является про-∞-групоидом
также находит простое объяснение: обычная конструкция с точками и путями
фундаментальной группы или фундаментального ∞-групоида
для локали или локалического групоида хорошего ответа
дать не может, ибо есть полно интересных локалей без точек вообще.
Формализм локалей сразу подсказывает правильный способ:
надо определить фундаментальный ∞-групоид для любого открытого
покрытия, а затем взять формальный предел по всем покрытиям.
Формальный предел как раз и даёт про-группы и про-∞-групоиды.
Ну и конечно, ещё более тонким инвариантом, чем, скажем,
фундаментальная про-группа будет фундаментальная локалическая группа.
Есть, например, локалическая теория Галуа:
http://arxiv.org/abs/math/0012173

>Вы приводили несколько примеров пользы локалей в топологии\функане (бесплатные эквивариантные и семейственные версии теорем) - можно ли поподробнее?

Теоремы с использованием локаль верны, как правило в любом топосе,
что даёт эквивариантные и семественные версии автоматически.
Формулировки при этом те же, но при желании их можно раскрыть,
и тогда получатся «честные» эквивариантные или семейственные версии.
Пример того, как это используется для двойственности Гельфанда,
в семейственной версии: http://www.cs.ox.ac.uk/people/chris.heunen/publications/2009/bohrification/bohrification.pdf

>ну там, формулировки их хотя бы, или ссылку на них, и как локали там помогают

Тихонов: http://mathoverflow.net/questions/26427
Хан-Банах: http://mathoverflow.net/questions/45848
Гельфанд: http://www.cs.ox.ac.uk/people/chris.heunen/publications/2010/carey/carey.pdf

>во-вторых, в тех множествах что я себе мыслю она все-таки выполнена

Аксиома выбора нарушается более-менее в любом топосе Гротендика.
Простейший геометрический пример: топос пучков множеств на окружности.
Категория множеств в данном случае — категория этальных накрытий
окружности.
Соответственно, легко построить пример, в котором будет нарушаться
даже слабейшая форма аксиомы выбора.
Например, рассмотрим связное двулистное накрытие окружности
и его отображение в однолистное накрытие.
Это эпиморфизм (= сюръекция) множеств.
Но у этой сюръекции нет сечения.

Так что если вы хотите делать алгебраическую геометрию в семействах
(например, на той же окружности)
(а Гротендик многократно подчёркивал, что именно в семействах и надо её делать)
то от аксиомы выбора придётся отказаться.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Спасибо, очень интересно

(Reply to this) (Parent)