В принципе, можно пытаться обосновать полезность векторных пространств так, как написано выше, например через векторные расслоения. Однако лично мне сделать это эффективно так и не удалось, потому что возник другой вопрос: а зачем нужны векторные расслоения? Можно сказать, что они помогают в алгебраической топологии разделять разные пространства, но тогда спросят, а зачем надо различать эти пространства? Зачем вообще исследовать пространства в размерности, большей 4? (Про категории и модули ситуация аналогичная.)

Поэтому сначала приходится объяснять, зачем вообще нужна математика и как она работает. И это действительно лучше сделать в школе, иначе попытки объяснить что-то конкретное потом могут не увенчаться успехом.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ну, векторные расслоения совершенно ясно зачем нужны.
Есть касательное и кокасательное расслоение, расслоение дифферециальных форм.
Дифференциальные формы повсеместны в физике.
Например, в уравнениях Максвелла: dF = 0, d*F= 4πj. Здесь, кстати, видно, зачем нужна внешняя алгебра и звезда Ходжа.
В механике ни одного определения нельзя дать без дифферециальных форм.
То же в теории относительности.
Вообщей во всей физике.
В струнах плюнуть нельзя, чтобы не попасть в какое-нибудь векторное расслоение.
(В струнах, кстати, используется весьма продвинутая теория векторных расслоений, топологическая К-теория.)
В общем, при изучении современной физики
шагу нельзя ступить без векторных расслоений.
Полезность физики очевидна.

В самой математике тоже самое.
Многомерный анализ, который идёт после производных и интегралов — более правильно называть его, наверное, теория многообразий,
векторные расслоения играют там первоочередную роль.

По поводу модулей. Модуль над чем-нибудь — это представление этого чего-нибудь.
В принципе, можно говорить о представлениях и без использования модулей, но язык модулей упрощает дело.
Представления являются одной из важнейших областей математики.
В физике без представлений нельзя шагу ступить.
Например, элементарная частица — это неприводимое представление некоторой группы.

Модули над коммутативными кольцами также чрезвычайно важны.
Без них невозможно представить себе алгебраическую геометрию.

Простанства размерности большей 4 вообще встречаются повсеместно. Особенно в физкие (число 4, по-видимому, оттуда взято?).
Без них невозможно представить даже простейшую область физики — механику.
Я уже не говорю о более продвинутых областях, вроде физики высоких энергий.

Ну а про категории и говорить нечего.
Без них просто невозможно представить себе современную математику.

(Reply to this) (Parent)