Не очень понятно, что имеет ввиду Пуанкаре,
ведь определение интеграла через площадь безупречно строго

подозреваю: нужно сказать, что интеграл есть площадь подграфика, а что такое
площадь вы и так уже понимаете (ну или объяснить физически-интуитивно)

Однако, интегралы, всё же на мой взгляд, считать не надо.
Надо решать задачи, в которых содержательно применяются интегралы.

хм. с предлагаемым определением содержательная задача посчитать интеграл х-квадрат, например...ну и решая содержательную задачу вам придется интеграл посчитать

Функции без производных полезны, например, в броуновском движении, но действительно, большинству изучать их совершенно незачем.

вроде лосев сотоварищи пытаются так делать первые полсеместра...
Ваше же возражение не о том: Пуанкаре скорей о том, что вначале учим функции "с производными", а потом, если надо и дорастем-поймем---уже как полагается...вот об этом:


Напротив, когда ученик станет более продвинутым, ознакомится
с математическими рассуждениями, а разум его созреет благодаря это-
этому знакомству, сомнения возникнут сами собой, и ваше доказательство
придется кстати. Оно пробудит новые сомнения, и вопросы у ребенка
будут возникать один за другим, как они возникали у наших отцов,
до тех пор, пока его не станет удовлетворять лишь абсолютная стро-
строгость. Недостаточно сомневаться во всем, необходимо знать, почему
сомневаешься.

пожалуй, процитую еще кусок:

Среди молодых людей, получающих полное математическое обра-
образование, одни, вероятно, станут инженерами. Они изучают геометрию
для того, чтобы ею пользоваться. Прежде всего необходимо, чтобы они
научились хорошо и быстро понимать. И именно в интуиции они нуж-
нуждаются в первую очередь. Другие — их меньше — в свою очередь,
возможно, станут учителями. Следовательно, им необходимо дойти до
сущности. Углубленное и точное знание основных принципов необхо-
необходимо для них прежде всего. Но это не причина не развивать у них
интуицию, так как они создали бы себе ложное представление о науке,
рассматривая ее только с одной стороны. И кроме того, им бы не уда-
удалось развить у своих учеников качество, которого они сами лишены.

(Reply to this) (Parent)